(2)の赤線部分が理解できません。なぜa+b＝0になったのでしょうか？赤線の前の行までは理解出来ました。

基礎問 150 第6章 微分法と積分法 95 接線の本数 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピーt) とする。 (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし,a> 0, b=d-α とする. (3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなa, bの値を求めよ. (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し ます. だから, (1)の接線にA(a,b) を代入してできるもの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します. 精講 1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-12 よって, Tにおける接線は, KORZ y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) ∴.y=(3t2-1)x-2t3 x M C (2) (1) の接線は A(α, b) を通るので b=(3t²−1)a-2t3 る ₂T (t, t²-t) =10152 Ex.31= a bett ∴.2t3-3at2+a+b=0....... (*) (*)が異なる2つの実数解をもつので、 g(t)=2t-3a2+a+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち, ( 極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t = 0, t=α だから g'(t) = (t (t-a) = 0 85 git g(土) y=x²-x Ň A(a,b) f x...? CASAS b (3) IKI HV 3次 すると ・余 ・C 演習問

四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) ST (2) √√x²+1 dx S 基本220 指針根号内が2次式の無理関数について、d-x"や、x+αを含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが, 後者の場合, 計算が面倒になることが 1 √x²+1 CHART x+Aを含む積分 ゆえに -dx ある(次ページ参照)。そこで,x+A (Aは定数) を含む積分には, xx =tとおく(･････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)√x+1=(x^x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 よって 解答 (1) x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt x2+1+x √x2+1 ゆえに 1 x2+1 -dx = dt すなわち -dx= x+√x+A=tとおく 1 x2+1 dt したがって dt = log|t|+C エージール S= x=Sdt=log|t|+C x2+1 =log(x+√√x²+1)+C (2) Svx+1dx=f(x)'√x+1dx=xvx°+1-$x+1 -dx 20%==x√x²+1 =√x²+1=1 dx ***©>=x√x² +1 −√(√x ² + 1 -dx =x√³x² + 1 - S√x² +1dx +S- f(x+1+1 -dx=dt 練習 (4) 4 221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 (1) S dx 100 x2+1 1 10²1²_2√√x²+1dx=x√x²+1 + √√√ ₂ ² + 1 x dx √x²+1 *₂= √√x² +1dx = = = ( x√x² +1+√√√₂+²+1² (1)の結果から 00000 -dx (2) √√√x²² +₂²₁ .2 <(√x2+1)^ ={(x²+1)²}' = = 1/(x²+1)¯ ¾ • (x²+1)′ 2x -= 2√√x²+1==√x²³+1 <√x2+1>√x2=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 <x2+1=(√x2+1)^2に着目 して,分子の次数を下げる。 fx-1dx=1/12(xv/x+1+log(x+√x+1)}+C 同形出現。 → p.363 の解答で Ⅰ を求 めるのと同様の考え方。 x+√x+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して、次の不定積分を求めよ。 に (1) の結果を利用。 よって Am

矢印で指したところって勝手にtをxに入れ替えちゃっていいんですか？

重要 例題 237 定積分と漸化式 (2) nを0以上の整数として,Imm = for sin" x cos" xdx とする。 m, 次の等式を証明せよ。ただし, sin"x=cos"x=1である。 (1) Im.n=In.m (2) Im.n=- n-1 解答 よって (1) sin (1) x=- xtの対応は右のようになる。 練習 237 =tとおくと dx=-dt ゆえに sin 2 −x=cosx, cos z −x)=s (2) n≧2のとき Ssin"x cos" xdx=f(sin" x cosx)cos" 190 sin"+¹x cos"¯¹x __ x=tとおき換えて計算し、後で変数をxに直す。 (2) sin" xcosx=(sin" xcosx) cos"-'xとして部分積分法を用いる。.… , sin+2x cos2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x S A. ①②から したがって sin (1) St Im.n=sin" x cos" x dx =S₁ sin"( 7 —t)cos"( 7 −t)·(−1)dt=S," sin"x cos™ xdx=In.m m+1 ¹x cos' m+1 Im,n= m+1 -1x ** Ssin+2 x cos"-²x dx=Ssin" x cos"-²x(1-cos²x) dx sin sinx cos³x dx m+n Im.n-2 (n=2) + n-1 m+n =sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 P.390 基本事項 ②. 重要 218,236 m+n t -Im.n-2 +45 上の例題の等式を利用して,次の定積分を求めよ。 0-> m+1 xdx= [(in)cos xdx m+1 Ssin" x cos xdx= sinm+¹xcos"-1x n-1 + m+n sin" x cos"-2x dx m+n. m+1 | sin"xcos®xdx=[sin"#harcox ] + màn sinh xoot xoa 2 n-1 c cos2xdx Jo 345Bons. n-1 π 2 sin"+¹x.(n-1) cos™-²x(−sinx)dx__ m+1 n-1Ssi m+1. 7/ -Ssinxcos-xdx-Ssin" x cos" xdx ( ) = (2) - (x →0 sin ²xcos"-2x dx...... (2) S. ² sinxcos’xdx S 2 + x(x) ²7 395 BES p.398 EX195 7章 3 定積分の置換積分法・部分積分法 34 1231

⑵の質問です。 解説4から5行目でインテグラルを付けても方程式が成り立つのは何故ですか？

388 ROKUREY 重要 例題 232 置換積分法を利用した定積分の等式の証明 (1) ①① ①00 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 ca ex (2)(1)の等式を利用して,定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 201 (2) f(x)=- ex とすると, f(a-x)= ex- tea-x ea-x ea-x tex このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xとtの対応は右のようになる。 よって 指針 (1) a-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお, 定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 は、逆 (2) I=S ca ex Jo ex +eª-x² また ゆえに f(x)+f(a-x)=1 よって Sof(x)dx + Sof(a-x)dx=Sodx ゆえに I+I=a したがって 1 (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t)(-dt) = Sof(t)dt を考えSof(x)dx=(左)&hlol-43) dx とし, f(x)=- ex とする。 (1) の ex tea-x 等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx から I=Sof(a-x)dx f(x)+f(a-x)=x-x+poster x 借りて、求めにくいf(x)=- t e ess a-x 0 → a a → 0 であり + 1)²0 (- a I= 1=002 + (²013) (1) 基本 228 f(x)+f(a-x)=1 UFC (CTEN pie- 重要 233. AGERE S'f(x)dx >= f(x) dx 定積分の値は積分変数の 文字に無関係。 (nie) ① (1), (2) の問題 結果の利用 15:51) 検討ペアを考えて利用する (2) の解答では,(1) で示した等式S。f(x)dx=S。f(a-x)dxと関係式f(x)+f(a-x)=1の力を ex tea-x extea-x=1 <Sidx は fax と書く。 ◄ S₁dx=[x]" = a の定積分を求めた。 このように, f(x) だけでは扱いにく ex tea-x くても、f(x) f(a-x) のペアを作ると扱いやすくなる場合があることを覚えておくとよい。

マーカーの所の式が分かりません。 定積分の部分積分法を使うと思ったのですが、∫f'(x)g(x)dxを引いてないので疑問に思いました。 分かる方いらっしゃったら教えて頂きたいです🙇‍♀️

174 曲線x=cos'0, y=sin' (o≧0≦12/27) で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 解答 よって dx do dy do dy dx = =4sin 30 cos 0 =4cos30(-sin0)=-4sin0 cos30, dy dx 4sin 30 cose - 4sin 0 cos³0 sin ²0 cos²0 O<< に減少する。 また,0=0のとき x=1, y=0 0=1のとき x=0, y=1 ゆえに,この曲線の概形は右の図のように なる｡ したがって <0であるから,yは単調 s=Sydx=S"sin'0(-4sin ocos' 0)dd -45 sin50 cos ³0 de π 0 = -45 % =4S sin 50(1-sin20)cos0 do =4f (sino-sin'8)(sin 0 yd0 = 4 sin 60 6 とx軸およびy軸と y ↑ 10= x 0 5 TC 2 π 2 sin 80 8 0=0 10 = 1 x 1 ← まず, 曲線の概形をつ かむ｡ dy dx 増減がわかる。 の符号から,yの ← dx =-4sinocos' Ado

eの2分のX乗の微分と部分積分法について教えて欲しいです。

(2) * 2 Sixe # 2 1 dx

⑴の質問です 解説3から4行目で、 (tan²θ+1)cosθ=1 になるのは何故ですか？

384 基本例題 230 定積分の置換積分法 (3) …x=atan0 次の定積分を求めよ。 dx (1) SY³ 1 x2+3 解答 (1) x=v 指針 例題 229 と同様に, 置換積分法により定積分の値のみが求められる問題である。 3 da * 054) (1) x=√3tan とおくと x²+(√3)=(√3)"(tan²0+1)= COS20 (2) 分母を平方完成すると x2+2x+5=(x+1)^+4 よって, x+1=2tan とおく。 CHART 1 x² + a² = =√3tan 0 とおくと- on xと0の対応は右のようになる。 x2+3 3 π の定積分x=atan0 とおく 202 √3 cos² fdo 4 dx=- 200 TC √3 dx √3 4 よって -do _*-7 S₁² +²+3=5+3(tan²0+1) ³0 S cos COS20 よって√3 dx (2) S²₁x²+2x+5√ RE do= 00000 ALORS 4* x 000 201 0 π √√3 4 √3 -o-o-¹³(-) -- √3 0 = 3 π 3 4 6 36 6 050 800 050800 π 1 → √3 TOD 6 π 4 基本229, p.369 参考事項) 850 830-2020 (1) 1≤x≤√312 π s を対応させる 6 と、異なる結果になるが、 tan0は0= で定義され ないからで、このような対 応は誤りである。 x=tanについては普通

⑵の質問です dtをどのように求めているのですか？

基本 例題228 定積分の置換積分法 (1) ・・・ 丸ごと置換 次の定積分を求めよ。 •4 x S₁ √5-x dx ③ t の定積分として計算する。 15-x=t とおくと,x=5-f2から dx=-2tdt xtの対応は右のようになる。 定積分の置換積分法 おき換えたまま計算 積分区間の対応に注意 dx dt •4 を求める(または dx = dt の形に書き表す)。 の式の一部をとおき, す 石のようにょ (1) √5x=t, (2) 1+sin'x=t とおく(丸ごと置換)。 よって Sixd √√5-x S₁5²dx=S₁5-1²-(-21)dt Ⓒ 【このことは置換積分法を用いて不定積分を求めるとき(p.359) とまったく同様。] ② xの積分区間に対応したもの積分区間を求める。 (1) なら,xが1から4に変化するとき,tは2から1に変化 する。この対応は、右のように表すとよい。 (2) 1+sin'x=t とおくと (2) =2 2sinxcosxdx=dt←? とその対応は右のようになる。 TL よって sinxcosx S& 1+sin'x 別与式)= = 25, (5-1²)dt =2[5t-1₁ -2|(10-)-(-)-1 1+sin2x B= p.380 基本事項 ① 基本 213 sinxcosx x = 1²₁²/17 • ²2 dx=1 1+sin²x 01 =12110gt=212(10g2-1)=1/12/10g2 -dt 3 ラーメニムとおくと、分数・ートが面倒…. t log2 -dx 1 → 4 2→1 = 16 3 GROO 2 π x 0 → Ⓡ - S ² = S²₁ 2 t → 2 重要 232,233 C 0≤x≤ (0) 加。 = 1. (1+sin'x)dx=12/10g(1+sin'x) | = 1/log2 *)=√( ²/1/1/1 . 20 2 x t 1 → 4 2→1 4 ( t は単調減少) Ax=g(t) で, a=g(x), b=g(β) のとき Sof(x)dx=Sf(g(t))g(t)dt -t=√5-x x≦2のとき, 5 x inx (20) は単調増加。 =1+sinåx も単調増 (分母の形。 (分母) 381 7章 34 定積分の置換積分法・部分積分法

極大値×極小値<0というところと、f(1)＞0だから極小値<0という所までは分かったのですが、極小値の方のx座標になぜkを代入してるかが分からないです🙏

数学ⅡⅠ・数学B 第2問 (必答問題) (配点 30) (1) を実数とし, f(x)=2x+3(1-k)x²-6kx+3k² とおく。 ƒ'(x) = [ T[](x + [ 1 [])(x − k) ア である。 (1) k=1のとき, f(x) の極大値は ウ極小値はエオであり, y=f(x)のグラフの概形は である。 カ については,最も適当なものを、次の⑩~⑤のうちから一つ選べ。 y 女 ② H NO 6x² +6(1-1)X-61 6Xx² + (1-K)x-1) 6 (X-~(4)(x + 1) N -24- 135031 Vo ORAGEDBERG 7 10 SUM O ③ -x V A. O (数学ⅡⅠ・数学B 第2問は次ページに続く。) (2) 3次方程式 f(x)=0 めよう。 このことに関連して, 太郎さんと花子さんが話している。 太郎: 3次方程式 f(x)=0 の実数解は, y=f(x)のグラフとx軸の共 有点のx座標だね。 花子:y=f(x)のグラフとx軸の位置関係を考えればいいね。 の値によらず、(イ) ギ0 が成り立つから, 3次方程式 f(x) = 0 が異なる三つの実数解をもつようなんの値の範囲は k ケ である。 キ 0 At 数学ⅡⅠI・数学B が異なる三つの実数解をもつようなkの値の範囲を求 ク ク 2²+(1-1/X-1< の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。) ① + fix)=2x² - 6x +3 1 f(x)=(x-1)(x+1) x=1-1 (数学ⅡI・数学B 第2問は次ページに続く。) TU VASJIITA JWT f(1)=2-6+3=-1 f(-1)=-2+6+3=7 -2+3(1-k)+6k+<D -243-3ktaktic² co 312+3+1 2 -}4* (3K+ (1+1) Sito Lo G

四角で囲った部分が何故そうなるのかが分からないので教えてほしいです！

396 重要 例題 238 逆関数と積分の等式 (1) f(x)= ex ex+1 (2) (1) f(x),g(x) に対し, 次の等式が成り立つことを示せ。 Sof(x)dx+S7100g(x)dx=bf(b) -af(a) 解答 (1) y= 指針▷ (1) 関数 y=f(x) の逆関数を求めるには, y=f(x) をxについて解き,xとyを交換する。 (p.166 基本例題 95 参照。) -nie (1) (2) (1) の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x) を利用。すなわち y=g(x)=x=f(y) に注目して, 置換積分法により、左辺の第2 ①から ②から ex ex+1 のとき, y=f(x) の逆関数 y=g(x) を求めよ。 0 項Sa g(x)dx を変形することを考える。 f(a) よって (e*+1)y=e* e²= 1²-y 求める逆関数は,xとyを入れ替えて g(x)=log- cf (b) (2)=g(x)dxとする。 f(a) ①の値域は 0<y<1 練習 ⑩ 238 って① (2) ゆえに (1-y)ex=y よって x=log f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) よりx=f(y) ゆえに dx=f'(y) dy また xとyの対応は右のようになる。 g(f(a))=a, g(f(b))=6 y I= i=S® yf'(y)]dy=[wf(y)]* -S°ƒ(v)dy a =bf(b) -af (a)-Sof(x)dx y 1-y the ゆえに Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af (a) 1-x xf(a)→f(b) a → b [ 東北大] p.390 基本事項 1 基本 95 まず, 値域を調べておく。 <xについて解く。 ARO13 ex=A⇔ x=logA 定義域は 0<x<1 YA 1 112 f(b). f(a) x=g(y) 0 2 a T S b X s=Sof(x)dx, T=S6g(x)dx f(a) (2) の等式の左辺の積分は, 上の図のように表される。 ( 0<a<bのとき) ex 参考 (2) の結果は, f(x)=1 でなくても,一般に,関数f(x) の逆関数が存在して(すなわち ex+1 f(x) は単調増加または単調減少),微分可能であれば成り立つ。Boox "nias 2 3x0 aを正の定数とする。 任意の実数x に対して, x = atany を満たすy π ( - 1 / < y < を対応させる関数を y=f(x) とするとき, f(x)dx を求めよ。 2 2 18 ②1 Ⓒ1 3