重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4)
00000
実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
[類 南山大] 基本98
指針
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても,
2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ⇔D≧0の利用。
CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用
解答
2x+y=tとおくと y=t-2x... ①
これを x2+y2=2に代入すると
整理すると
5x²-4tx+t2-2=0...... ②
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
②の判別式をDとすると D≧0
ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10)
4
x2+(t-2x)=2
D≧0から
t²-10≦0
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=-
t=±√10 のとき x=±
したがって x=
2√10
5
x=1
2√10
5
2√10
5
'10
y= 5
y=-
-4t
2.5
2t
2/4 をもつ。
5
√10
① から y=± 5
(複号同順)
√10
5
のとき最大値 10
のとき最小値-√10
参考 実数 a, b, x, y につ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー・シュワルツの不
等式)。
(ax+by)³s(a+b) (x² + y²)
[等号成立はay=bx]
a=2, b=1 を代入すると
(2x+y)=(2+12)(x2+y²)
x2+y²=2 であるから
(2x+y)^2≦10
よって
-√10 ≤2x+y≤√/10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして、左と同じ答
えを導くことができる。
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3章
13
2次不等式
