ことを数学的帰納法によって証明せよ。
「nは自然数とする。2数x, yの和と積が整数ならば, x"+y* は整数である
x*+1+y*+1 をxktyh で表そうと考えると
n=1 のとき x'+y'=x+y で整数である。
[1] n=1, 2 のときを証明
523
j{and に
月いて証
を数学的帰納法によって証明せよ。
p.518 基本事項1, 基本119
基本119
OLUTION
CHART
1 n=1, 2 のときを証明
カ=k, k+1 のときを仮定し、 n3Dk+2 のときを証明
学的帰納法(仮反定が2つ必要な場合)
an
,た+1
xh+1+y*+1=(x*+y*)(x+y)-xy(x^-1+y*-1)
よって,「x*+y* は整数」に加え,「xk-1+ yk-1は整数」 という仮定も必要になる。
出発点も,n=1 だけでなく,n=2 の場合の証明が必要となる。
解答
「gm+y"は整数である」を(A) とする。
1 n=1 のとき x'+y'=x+y で整数である。
よって,n=1 のとき(A) は成り立つ。
nn=2 のとき、+y=(x+y)?-2xy で整数である。
よって, n=2 のとき (A) は成り立つ。
12] n=k, k+1 のとき(A) が成り立つと仮定すると, 帯不
x*+y", xh+1+y+1 はともに整数である。
n=k+2 のとき
x*+2+y*+2=(x^十1+ yh+1)(x+y)-xy(x*+y*^)
x+y, xy, x*+y^, xh+1+yk+1 は整数であるから
xh+2+ yk+2 も整数である。
条件から, x+yは整数。
全条件から,xty, xyは
整数。
inf. [2] の仮定で
n=k-1, k とすると,
k-121 の条件から k22
としなければならない。
.k+
左の解答で n=k, k+1 と
したのは,それを避けるた
めである。
0eso増s
ゆえに, n=k+2 のときも(A) は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて(A) は成り立つ。
