ことを数学的帰納法によって証明せよ。
「nは自然数とする。2数x, yの和と積が整数ならば, x"+y* は整数である
x*+1+y*+1 をxktyh で表そうと考えると
n=1 のとき x'+y'=x+y で整数である。
[1] n=1, 2 のときを証明
523
j{and に
月いて証
を数学的帰納法によって証明せよ。
p.518 基本事項1, 基本119
基本119
OLUTION
CHART
1 n=1, 2 のときを証明
カ=k, k+1 のときを仮定し、 n3Dk+2 のときを証明
学的帰納法(仮反定が2つ必要な場合)
an
,た+1
xh+1+y*+1=(x*+y*)(x+y)-xy(x^-1+y*-1)
よって,「x*+y* は整数」に加え,「xk-1+ yk-1は整数」 という仮定も必要になる。
出発点も,n=1 だけでなく,n=2 の場合の証明が必要となる。
解答
「gm+y"は整数である」を(A) とする。
1 n=1 のとき x'+y'=x+y で整数である。
よって,n=1 のとき(A) は成り立つ。
nn=2 のとき、+y=(x+y)?-2xy で整数である。
よって, n=2 のとき (A) は成り立つ。
12] n=k, k+1 のとき(A) が成り立つと仮定すると, 帯不
x*+y", xh+1+y+1 はともに整数である。
n=k+2 のとき
x*+2+y*+2=(x^十1+ yh+1)(x+y)-xy(x*+y*^)
x+y, xy, x*+y^, xh+1+yk+1 は整数であるから
xh+2+ yk+2 も整数である。
条件から, x+yは整数。
全条件から,xty, xyは
整数。
inf. [2] の仮定で
n=k-1, k とすると,
k-121 の条件から k22
としなければならない。
.k+
左の解答で n=k, k+1 と
したのは,それを避けるた
めである。
0eso増s
ゆえに, n=k+2 のときも(A) は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて(A) は成り立つ。
それは今回答者さんのおかげで理解できたのですが証明のところで足し算しかしてなくないですか？