-
![]()
-
![]()
=4sin°0(1-2 cos0+ cos'0)
=4(1-cos'0) (1-2cos0+cos'0)
5解答
(1) 定円 C。と円 C、の接点を0-1 0
C.
Rとする。
また,定点Pの座標を(x, y) とする。
=-4(cos'0-2cos'0+2cos0-1) . (答)
Q
与えられた条件より
ここで, cos0=xとおくと,O<0<2xのとき
AR=PR
R
P(x. y)
-1SxS1
そのとき
R-1号-
3
0 川
f(0) =g (x) = -4 (x'- 2x° + 2x-1) とする。
(x) = -4(4r°-6x* + 2) = -8 (2x°- 3r'+1) =D -8 (x-1)?(2x+1)
3
Co
また
PR=QR· ZPQR= ZPQR
であるから
π
ZPQR=
3
こ
= 0, g'(1) =0
であるので
-1SxS1の範囲の増減表は右のようにな
27
を
4
よって,線分 QP の,x軸の正の方向からの回転角は
1
x
-1
1
2
等
T_5元
3
3
1
-品のときg(x) は最大値
+元+
< の4 tーイ>
のあと決 でう
T 齢負
り,オ=
g'(x)
0
ゆえに
とる。
g(x)
27
0
|0
4
OF= (x. y)
こ公 事
あか
-のときf(0)は最大
すなわち, cos0=
00- 2cos, 2sin)=(1, (3)
2-1+-
値をとる。
4
QF=(cos, sin
5元
V3
)4
2
3'
点Pのy座標2sin 0 (1-cos0) は, 0<0<2rのとき, 正または0であり
OF= OQ + QF から
きる
|27_3/3
80l
V3 3 J0で相をつ (8)
22
13
V4
2
x=1+
y=/3
2
3/3
30+ (-) yol 2 do
2
よって、0=xのとき,点Pのッ座標は最大値
をとる。
……(答)
すなわち P)
……(答)
あケ日手 4-1)
「解説《エピサイクロイド》
ol +onl
(2) 円 Ciが角0だけ回転したとき, ZAOR= ZRQP=0であり, 線分
QP のx軸の正の方向からの回転角は元+20である。
そのとき
0Q= (2cos0, 2sin0)
)(2) 図を描いてみて,ベクトルでの関係式 OF=OQ+ QP を利用して
各成分を求めることにより,点Pの座標は求められる。
3) 点Pのy座標の最大値はそのままでは求めにくい。そこで, その2乗
で)とおいて計算を進めていく。 sin'0=1-cos'0 なので, 整理する
のは cose に関する4次式となる。cos0=xとおきかえて増減表を
Fると、f(0)の最大値は求められる。なお, Coと Ciの半径が等しいと
きのPの軌跡は,カージオイドと呼ばれている。
よケ太容式 0 )
QP
(1)と同様に
= (cos(元+20), sin (π+20)) = (- cos 20, - sin 20)
平 本前登 半部
x=2cos0-cos20=2cos0-(2cos°0-1) = - 2cos°0+2cos0+1
y=2sin0- sin20=2sin0-2sin0cos0=2sin0 (1-cos0)
P(-2cos°0+2cos0+1, 2sin0 (1-cos0))
f(0) = {2sin0 (1- cos0)}°
よって
…(答) e
い
