137 数学的帰納法 (ⅡI)
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) .......
X △(2) 1+
1 1
+ +…+ -2.
2 3
1 2n
n n+1
(1) i)n=1 のとき
1) kor
|精講
手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解
答
つと仮
左辺=1,右辺=1・1・2・3=1
… ②
よって, n=1のとき, ① は成立する.
ii)n=kのとき
1² +2²+...+k²=¹k(k+1)(2k +1)-((
が成立すると仮定する.
①' の両辺に(k+1)を加えて
左辺=12+22+..+k²+(k+1) 2
右辺=1/k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
= // (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} ¹3
BST DAAR
= 1/(k+1)(k+2)(2k+3)
左辺に,
1²+2²+...
+k²+(k+1)²
を作ることを考える
ト
これは,① の右辺にn=k+1 を代入したものである.
よって, ① は n=k+1 でも成立する.
i), i)より, ①はすべての自然数nについて成立する.
