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11 実数解の個数
方程式 α.2-2=0が異なる3つの解をもつような実数αをすべて求めよ.
実数解はグラフの交点で方程式の実数解の個数をとらえるにはグラフを利用しよう。本
その実数解は,y=a･2" と y=xの共有点のx座標に等しいが,このようにとらえるのはうまくない
で, 「y=a・2-xとy=0 (x軸) の共有点のx座標に等しい」 とすれば一方が直線 (軸)となる。
というのは,2つとも曲線を表し, 交点の様子をとらえにくいからである. 一方を直線にするの
だし,いつも一方をx軸にする必要はない.
文字定数を分離する
a2f=mのとき, a=x2-2-² と変形して,
y=a① と y=x2.2 ② のグラフを考えるのがうまい。というのは、②は定まった線
あり,①は軸に平行な直線なので, ①と②の交点がとらえやすいからである。
(²)=alog 左の公式を使って, (2²) ' を計算すると,
(2-²)^=2*(log2)(-x)'=-2- log2となる.
f(x)=意として、
解答
2
α.2-x=0のとき, a=x2-2-x であるから, f(x) = x 2.2 - とおくと, 方程 f(x)=22
式の実数解は,曲線 y=f(x) と直線y=a の共有点のx座標に等しい。
よって,異なる3つの実数解をもつ条件は, y=f(x) と y=aが異なる3交点
をもつ条件に等しい.
f'(x)=2x2+x^2-x (log2)(−1)=x^2-(2-xlog 2 )
f(x) の増減は右表. また, f(x)=
lim f(x) = ∞ limf(x)=0
H118
I-00
2
210g2 =β とおくと, log β
a
log 2
2
√( 10²22) = ( 1032 ) + 3 = ²(log 2)²
1
4
log
log
Be2(log2)2
4
e²(log 2)²
x²
2x
また, f(0)=0
よって, y=f(x)のグラフは右のようになり,
y=a と異なる3交点をもつ条件を考え, 求める a
は、0<a<-
により
注 a>1のとき, lim
を満たすすべての値 .
IC
f'(x)
f(x) \
･log 2=2により, β=e2 であるから,
T
YA
O
32
x-∞0 at
まず、t>0のとき>1+tloga を示し, d>tlogaを3乗して.
(loga)3.3t=xとおけば, 0
x²
27
の式でx→∞とすれば導かれる .
at x (log a)³
0
-=0 となる. これを証明しておこう.
:
2
log 2
+ 0
4
e²(log2)²
2
log2
y=f(x)
IC
(1)
し.
(2)
It
(3)
2x-2²-1²-2³
f'(x)=²
(27)
と f'(ェ)を計算してもよい。
応用問題では,α>1のとき
x²
lim - 0 は既知としてよい
1-∞0 aª
⇔証明は解答のあとの注
(
⇔指数に log が入っている数は
おいて, log β を変形すると
簡単になることが多い..log を
らずに, alogab = bに着目して
2log2 = 2logze = e
を利用することもできる。
し
このαは、問題文のαと無関係
右辺はu=d の t=0 における
線の方程式.
