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別解 4
{an}:
{b}:
重要例題93 2つの等差数列の共通頂
よって
基本 85
重要100
の一般項を求めよ。
その一
(公差)=(n の係数)
補定
On=2+7(n-1)であるから. 数列{b.}の初項は 2, 公差は7 である。
具体的に項を書き出してみると
指針> an=1+4(nー1) であるから、 数列 {an}の初項は 1, 公差は4,
+4は7回
+4 +4 +4+4 +4 +4 +4
tan}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65,
37,
30,
51,
58,
65,
44,
{bn}: 2, 9,
16,
23,
+7
+7
+7
+7
+7は4回
よって {ca}:9, 37, 65, … となり, これは初項9, 公差 28の等差数列である。
公差4,7の最小公倍数
このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない
(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで,1次不定方程式(数学
A)の解を求める方針で解いてみよう。
共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{bn}の第 m項であるとすると
よって,1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから,まず
この不定方程式を解く。 …
解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これをa=4l-3のlに代入すればよい。
ただし,kの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。
a=bm
解答
4/-3=7m-5
4/-7m=-2
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
4(1+4)-7(m+2)=0
4(7+4)=7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
a=bm とすると
よって
=3, m=2 とした場合は
検討参照。
ゆえに
1+4=7k, m+2=4k
すなわち
ここで,1, mは自然数であるから,7k-421かつ 4k-221
より,&は自然数である。
よって,数列 (c}の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第
(7k-4)項であり
1=7k-4, m=D4k-2
と表される。
くたはん2号かつたとを
満たす整数であるから, 自
然数である。
4(7k-4)-3=28k-19
求める一般項は, kをnにおき換えて
(数列(b}の第 m頂すなわ
ち第(4k-2)項としてもよ
C,=28n-19
い。
