Question

𖦹 ̫ 𖦹

数列の問題です。
別解の方では簡単に解けるのですが、正規の回答の方の解き方がわかりません。
この解説よりも分かりやすく解説して欲しいです🙇‍♀️

重要 例題93 2つの等差数列の共通頂
OOO00
等差数列{an}, {bn} の一般項がそれぞれ an=4n-3, bn=7n-5であるとき,
の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列 {c}
の一般項を求めよ。
基本 85
重要100
1)であるから
教列{a}の初項は1,公差は 4,
|(公差)3 (n の係数)

55
同 4と7の最小公倍数は
{an}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,
{bn}: 2, 9, 16, 23, 30,
よって,数列 {cn} は初項9, 公差 28の等差数列であるから,
その一般項は
28
.であり,
a,=1+4(n-1)
b。=2+7(nー1)
であるから
Ci=9
Cn=9+(n-1)·28=28n-19

(相当多くの数の書き上げが必要な)
よって、1, mは方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから、ます。
次不定方程式(数を
らない
共通に含まれる数が, 数列 (an} の第/項, 数列 (b.} の第m項であるとすると
解として、例えば, 1=(kの式) が得られたら, これを a=4l-3のいに代入すればよい。
A)の解を求める方針で解いてみよう。
m
検討」
1=3, m
この不定方程式を解く。
ゆえに
4と7は、
ただし、たの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討参照)。
と表され
解答
a=bm とすると
47-3=7m-5
となる。
よって
4/-7m=-2
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
4(1+4)-7(m+2)3D0
4(7+4)=7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
ここで,
=3, m=2とした場合は
検討参照。
すなわち
ゆえに
したがっ
これは(
解答の(
1+4=7k, m+23D4/
『すなわち
1=7k-4, m=4k-2
と表される。
nにおき
ここで, 1, mは自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221
より,kは自然数である。
よって, 数列 {cn}の第え項は, 数列 {an} の第1項すなわち第
(7k-4)項であり
くたはんこ号かつを
注意 k
O Gm
満たす整数であるから、 自
然数である。
4(7k-4)-3=28k-19
求める一般項は, んをnにおき換えて
数列{b}の第m項すなか
ち第(4k-2)項としてもよ
練習
等
:93
Cn=28n-19
い。
2
般

数列