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基本 例題114 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件
181
OO0
0S×S8のすべての×の値に対して、不等式x-2mx+m+6>0が成り立つよ
うな定数 m の値の範囲を求めよ。
【類奈良大)
指針> この問題では xの変域に制限があるから、例題113 と同じように考えてはダメ!
基本79
そこで,問題をグラフにおき換えてみると,求める条件は
naa
「0S×S8の範囲で y=x°-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを(区間内の最小値)>0 と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
DOm
合に分けて
3
解答
求める条件は,0ニx%8における f(x)=x?-2mx+m+6の最| 4f(x)=x"-2mx+m+6.
小値が正となることである。
f(x)=(x-m)-m'+m+6 であるから,軸は直線x=m
[1] m<0のとき,f(x) はx=0 で最小
となり,最小値は f(0)=m+6
(0SxS8) の最小値を求め
る。→か.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0SxS8の左外か,内か,
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから,区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら,頂点(x=m)で最小
[1] る
ゆえに m+6>0
よって m>-6
m<0であるから(*)
[2] 0SmS8のとき,f(x) はx=m で最
小となり,最小値は
-6<m<0
0
m
0
8*
f(m)=-m'+m+6
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから,区間の右端
(x=8)で最小となる。
ゆえに
ーm+m+6>0
すなわち m°2_m-6<0
これを解くと,(m+2)(m-3)<0から
0m8
-2<m<3
(*)場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
(*)10<m<3
0SmS8であるから
[3] 8<mのとき,f(x) はx=8 で最小
となり,最小値は f(8)=-15m+70
C Da-
14
m
08
ゆえに,-15m+70>0から m<
3
<の囲にー0
合わせた範囲をとる。
これは8<m を満たさない。
求める m の値の範囲は, ①, ②を合わせて
-6<m<3
(の結果
A合合0=D ©
tふさopト-
2個
、9のと楽
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0 →[区間内のf(x)の最小値]>0
区間でf(x)<0→ [区間内のf(x)の最大値]<0
POINT