Question

ゆー

この問題を見て疑問に思ったのですが、グラフで場合分けをすればいいのは分かるんですけど、この不等式が0≦x≦8のときに正になるという要素がこの中に入っていなくていいんですか？
紙に書いたみたいに0のところで負になる可能性ってないんですか？

基本 例題114 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件
181
OO0
0S×S8のすべての×の値に対して、不等式x-2mx+m+6>0が成り立つよ
うな定数 m の値の範囲を求めよ。
【類奈良大)
指針> この問題では xの変域に制限があるから、例題113 と同じように考えてはダメ!
基本79
そこで,問題をグラフにおき換えてみると,求める条件は
naa
「0S×S8の範囲で y=x°-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを(区間内の最小値)>0 と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
DOm
合に分けて
3
解答
求める条件は,0ニx%8における f(x)=x?-2mx+m+6の最| 4f(x)=x"-2mx+m+6.
小値が正となることである。
f(x)=(x-m)-m'+m+6 であるから,軸は直線x=m
[1] m<0のとき,f(x) はx=0 で最小
となり,最小値は f(0)=m+6
(0SxS8) の最小値を求め
る。→か.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0SxS8の左外か,内か,
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから,区間の左端
(x=0) で最小となる。
[2] 軸は区間内にあるか
ら,頂点(x=m)で最小
[1] る
ゆえに m+6>0
よって m>-6
m<0であるから(*)
[2] 0SmS8のとき,f(x) はx=m で最
小となり,最小値は
-6<m<0
0
m
0
8*
f(m)=-m'+m+6
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから,区間の右端
(x=8)で最小となる。
ゆえに
ーm+m+6>0
すなわち m°2_m-6<0
これを解くと,(m+2)(m-3)<0から
0m8
-2<m<3
(*)場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
(*)10<m<3
0SmS8であるから
[3] 8<mのとき,f(x) はx=8 で最小
となり,最小値は f(8)=-15m+70
C Da-
14
m
08
ゆえに,-15m+70>0から m<
3
<の囲にー0
合わせた範囲をとる。
これは8<m を満たさない。
求める m の値の範囲は, ①, ②を合わせて
-6<m<3
(の結果
A合合0=D ©
tふさopト-
2個
、9のと楽
f(x) の符号が区間で一定である条件
区間でf(x)>0 →[区間内のf(x)の最小値]>0
区間でf(x)<0→ [区間内のf(x)の最大値]<0
POINT

l
0
( 8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

M

その可能性はあると思いますよ。X^2ｰ2mx+m+6のグラフで、xが0～8の間で正負が変わるということですよね？
しかし、今は、xが0～8のときに全てのx（つまり、xが0,1,2,3,4,5,6,7,8全てのときにおいて）不等式が0より大きい（つまりグラフ的にはX軸より上）ときのみを考える必要があります。よって、質問者さんがおっしゃるようにxが0～8の全てにおいて不等式が0より大きくない場合は考える必要がないのです。条件と何を求めるべきかを考えることが大事ですね！がんばってください！

ゆー

そうなんですね
ありがとうございます！頑張ります！！