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例題 283 (等差数列) ×(等比数列) の和
次の和を求めよ.
O S=1·1+2·3+3·3² +4·3³+...+n·3²-1
考え方 各項の前の部分に着目すると,
Kin
答
S= 1·1+2·3+ 3 ∙3²+ 4 ∙3³+
II
1,
2, 3,
4,
さらに,各項の後の部分に着目すると,
S=1・1 +2･3 +3・32 + 4・3°+..+n・3-1)
Į Į Į Į
1,
3,
32, 3,
n-1171
+ n.3n-1
14(31)
3-1
となる.
つまり,一般項an は, an=n•3" '=(等差数列)×(等比数列)となる.
この形の数列の和は,公比r(ここでは3)を利用して, S-S を計算するとよい。
….………①
S=1・1+2・3+ 3・32 + 4・3°+..+n3n-1
両辺に3を掛けると
3S= 1・3 +2・3² +3・3' + + (n-1)・3-1+n・3"
① ② より,
1
--n・3" ==•3n.
2
4
n
-
1
3n-1
-2S=1・1+(2−1)・3+(3-2)・3'+(4-3)・33+... 分
......+{n-(n-1)}・3”-1-n・3"
=1・1+1・3+1・32 + 1・3 +...... +1.3 - n.3"
=1+3+32+3°+......+3"-n・3
2
(S+x)(1+*)A
3n
4
◇等差数列(初項1,公差1)
←等比数列(初項1,公比3)
(
-n3n
(同志社大改)
....2
②
よって、 S--123+1/+1/13-2 (2n-1)+10
4
両辺に公比の3を掛
ける.
は初項1,公比
3の等比数列の初項
から第n項までの和.
ただし,の第1
項目が等比数列の初
項にならない場合も
ある。
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例題
自然
その積
「考え方
解答
