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定積分で表された関数(1)
例題251
次の条件を満たす関数f(x) を求めよ.
f(x)=ex-Sof(t)dt
(1)
(関西大)
Sof(t)dt=k(kは定数)とおく。
考え方 (1) 「定積分の積分区間の上端も下端も定数のとき, その定積分の値は定数」であるか
( 2 )積分区間の 2x を uとおいて考える.
f(x)=e-Sof(t)dt
(1)
......①
Sof(t)dt=k(kは定数)とおくと
......3
解答
SPATH DIY, f(x)=e* -k
これを②に代入すると,
(土 Sle-k)dt-[e-kt-e-1-
Focus
k=e-1-k より,k=e-1
2
Sof(t)dt = xex に代入すると,
Sof(t)dt = -1/ue
両辺をxで微分して,
(2) f(t)dt=xe
f(u) = 1/3 e + + 1/2u(-1/2) e
2
= (2-u)e-
C2x
よって, f(x)=1/12(2-x)-葦
SOUSVESISTOR
分と微分 区分求積法
したがって,
よって、③より、f(x)=end ワー
f(x)=ex_e_1
2
(2) 2x=u とおくと, x=- -u より,
35600)
f(x)=e*-'f(t)dt
+xfof(t)dt (久留米大)
**
(関西大)
f(x)=e*-k
||
k
次のようにしてもよい。
S²* f(t) dt
=F(2x)-F(0)=xe-x
xで微分して,
2f (2x)=e^x-xe-x
f(2x)=(1-x)e-*
2
2x=t として,
|f(t)=-
よって,
練習 次の条件を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) はαの値も求めよ.
257
(1)
(1-x²) S*f(t) dt=Sx²f(t) dt
(2) Sof(t)dt=xe+xff(t)dt
(1-1) +
e
2
(J33AFJJSBXON(x)= (2-x)e¯ž
4
Sof(t)dt=(定数). Sof(t)dt=0, axSf(t)dt=f(x)
535
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第7章
