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基本 例題 65 垂線の足,線対称な点の座標
2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線lとする。
(1)点C(2,3,3) から直線ℓに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(2) 直線 l に関して, 点Cと対称な点 D の座標を求めよ。
000
基本63
111
49~
る点をそれ
う点をRA
証明せよ
して(表現
指針
垂線と直線lとの交点のこと。
注意点 Cから直線lに下ろした垂線の足とは,下ろした
□は直線AB上⇔A□=kAB となる実数がある。
(1) AH=kAB(は実数) からCH を成分で表し, ABICH
を利用する。 垂直 (内積) = 0
C
A
B
H
D
(2) 線分 CD の中点が点Hであることに注目し, (1) の結果を利用する。
は
6=2:1
2=2:1
=1:2
2章
9位置ベクトル、ベクトルと図形
(1) 点Hは直線AB上にあるから, AH = kAB となる実
数んがある。
解答
よって
CH=CA+AH=CA+kAB
=(-5,-4,-2)+k(2, 1, -1) 30+ CA=(-5, −4, −2)
=(2k-5,k-4,-k-2)
ABCH より AB・CH = 0 であるから
2 (2k-5)+(k-4)-(-k-2)=0
k=2
(*) AB=(2, 1, -1)
このとき 0 を原点とすると
OH=OC+CH= (2,3, 3)+(-1,-2,-4)
ゆえに
=(1, 1, -1)
したがって, 点Hの座標は (1,1,-1)
(2) OD=OC+CD=OC+2CH
-80
80-17.00
86k-12=0
=(2,3, 3)+2(-1,-2,-4)=(0, -1, -5)
したがって, 点Dの座標は (0, -1, -5)
OT: TT (S)
<k=2を(*)に代入して
CHを求める。
OD=OH+HD
=OH+CH
から求めてもよい。
200-D-TO
は
ある。
正射影ベクトルの利用
(1) は,正射影ベクトル (p.57 参照) を用いて,次のように解くこともできる。
AB=(2, 1, -1), AC = (5, 4, 2) であるから
AH=
AC・ABAB=12AB=2AB
AB
ゆえに
ACAB=5×2+4×1+2×(-1)=12
|AB=22+12+(-1)=6
6
OH=OA+AH=OA +2AB
=(-3, -1, 1)+2(2, 1, -1)=(1, 1, -1)
よって、 点Hの座標は (1, 1, -1)
TO
l
H
A B
AC AB
AB
|AB|2
検討
練習 2点A(1,30) B(0, 4, -1) を通る直線をℓとする。
