基本 例題 65 逆関数の微分法,x (pは有理数)の導関数
(1) y=x の逆関数の導関数を求めよ。
00000
N(2) y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数 g' (0) を求めよ。
(3)次の関数を微分せよ。
(ア) y=2x3
(イ)v=vx2+3
p.110 基本事項
指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式
dy
1
を利用して計算する。
dx
dx
加合
dy
(1) y=xの逆関数は x=y(すなわち y=xl
xyの関数とみてyで微分し、最後にy をxの関数で表す。
(2)y=g(x)として, (1) と同様にg(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。
→x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg'(0) を求める。
(3)が有理数のとき (xb)'=px-1
(1) y=x の逆関数は,x=y を満たす。
を利用。
解答
dx
よって
-=3y2
dy
ゆえに、x=0のとき
dy
=
dx
dx
dy
1
==
1
=
3y²
=
2
(2) y=g(x) とすると, 条件から x=y+3y
たされる。
①から
=
1
JC
27/3
別解 (1) y=xの逆関数
y=xで
dy
dx=(x)=1+x+
(ES)=
①が満 関数 f(x) とその逆関数
(x)について
y=f(x)=x=f¹(y)
の関係があること(p.24
g'(x)=dy 1
1
=
dx dxc 3y2+3
dy
x=0のとき
y+3y=0
すなわちy(y2+3)=0
()
基本事項 20)に注意。
東習
したがって
y2+3>0であるから
y=0
g'(0)= 1
3.02+3
3
(3)(ア) y'=(x)=3
3
x 4=
4 x
(1) y={(x²+3)=(x²+3)¯*.(x²+3)'=·
X
合成関数の微分。
x2+3
