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本
「次の等式がxについての恒等式となるように、定数 a, b, cの値を定めよ。
例題17 分数式の恒等式
000
-2x+6
a
b
C
x+1
基本
x-1
(x-1)
指針>分数式でも, 分母を0とするxの値(本間では -1,1) を除いて, すべてのxについ。
xの整
本15.4
あった。
定数で
り立つのが恒等式である。与式の右辺を通分して整理すると
-2x+6
両辺の分母が一致しているから,分子も等しくなるように,係数比較法または数値代
でa, b, cの値を定める。このとき,分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする。
指針>割
割
し
=-1, 1も代入してよい (下の検討参照)。
恒
定
解答
両辺に(x+1)(x-1)°を掛けて得られる等式
-2x+6=a(x-1)°ー6(x+1)(x-1)+c(x+1)
もxについての恒等式である。
解答1.(右辺)=a(x°-2x+1)-b(x°-1)+cx+c
(分母)キ0 から
CHA
の
(x+1)(x-1}+0
解答
=(a-b)x°+(-2a+c)x+a+b+c
4係数比較法による解答。
2次式:
と,条
よって
-2x°+6=(a-6)x+(-2a+c)x+a+b+c
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
aーb=-2, -2a+c=0, a+b+c=6
この連立方程式を解いて
本人分金
「両辺の係数を比較して
と書いてもよい。
この等
右辺を
両辺の
a=1, b=3, c=2
解答2.0の両辺にx=-1, 0, 1を代入すると, それぞれ
(数値代入法による解答。
この
4=4a, 6=a+6+c, 4=2c
この連立方程式を解いて
これをいて
した
a=1, b=3, c=2
別解
このとき, ①の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の
xの値に対して成り立つから, ① はxについての恒等式であ
る。したがって
求めた a, b, cの値を
の右辺に代入し,展開した
ものが0の左辺と一致す
ることを確かめてもよい。
a=1, b=3, c=2
て
検討)分母を0にする値の代入
分母を0にする値x=-1, 1を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは同S
ない。なぜなら, 値を代入した式①は、x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。
すなわち, xにどんな値を代入してもよい。
そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば、 両辺を(x+1) (x-1) で割って付り
る分数式も恒等式である。 ただし,これはx%3D-1, 1を除いて成り立つ。
がxについての恒等式となる
x+3
練習
等式
b
a
C
17
x+2
IDLL) Co46 EXI)>
の」
