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5
xの多項式で表される関数f(x) について,次のことがいえる。
関数 f(x)がx=α で極値をとるならば,f'(a) =0 である。
ただし,このことの逆は成り立たない。すなわち,次のことがいえる。
f'(a)=0 であっても, f(x)はx=αで極値をとるとは限らない。
たとえば,198ページの例10で調べたように, f(x)=xについては
f'(0) = 0 であるが, f(x)はx=0 で極値をとらない。
10
15
20
応用関数 f(x)=x+ax+bがx=2で極小値-6をとるように,
例題
3 定数a,b の値を定めよ。また,極大値を求めよ。x=2のとき極小値をとる
21.
考え方 f(x)がx=2で極小値-6をとるならば,f'(2) = 0 であり,
かつf(2) = -6 が成り立つ。
解答 f(x)=x+αx + b を微分すると f'(x)=3x2+α
f(x) が x=2で極小値-6をとるとき f'(2) = 0, f(2) = -6
よって
12+α = 0,8+2a+b= -6
これを解くと
a=-12,6=10
十分性のかくにん
逆に,a=-12,610 のとき f(x) が
x=2で極小値-6をとることを示す。
練習
f(x)=x-12x+10, f'(x)=3x²-12=3(x+2)(x-2)
したがって、 右の増減
表が得られ, f(x) は
x=2で極小値-6 を
XC
f'(x) +
f(x) /
関数 f(r)
-2
20
極大
26
......
とり,条件を満たす。
答a=-12,6=10, x=-2 で極大値26をとる。
252,253ペ
逆に
2
0
極小
-6
+
