（ニ）別解の解き方でなんでこんな式になってるのかわからないので教えて欲しいです

19 z"= 1 の虚数解の分数列の和 重要 例題 2 複素数zを z = COS risinaとおく。 (1) z ' の値を求めよ。 1 1 (2) 1-² 1-² 別解 (3) 数である｡ 1 6 (3) 2 別角 CHARTO SOLUTION 2π 複素数 = COS +isin n (1) ド・モアブルの定理を適用。 解答 11 (1) = (cos24/2x+isin 7/27) 1 1 (2) 1-²21-2² + + k COS (2)(1) の結果が利用できるように式変形。 または、通分して式を整理してみる。 (3) (2) をヒントに, 加える組合せを考える。 k=1 -Z 1 1 + 1-² 1-² 2-227- 1-zk-27-k+z k k=1 Zb =1+1+1=3 6 の値を求めよ。 の値を求めよ。 ただし、kは1≦k≦6 の範囲の自然 -7-k k=1 PRACTICE・・・ 1,9④ 1 1-zk 1 1-2k+ = cos2π+isin2=1 1-27-k+1-2 (1-z¹)(1-z¹-k) AFFÉHA 1 1-2 1-2 ²6/ + 1-2 3 2π n 2zk-27-k 2zk2k=1 -(- + -)+(- + -) (+) 6 g = COS 4 2π 5 は1のn乗根 1-² 1-zk 21-²2-2(12+12-)-2-3-1-3 k 7-k Etisin -=1 k= =3.1=3 2πのとき、次 5 [類 龍谷大] ◆ド・モアブルの定理 ◆ 通分 33 ← z'=1 を利用するために, 1 の分母・分子に 1-27 z を掛ける。 分母を展開して z'=1 を代入。 複数の種形式 ド・モアブルの定理 誘導になっていることを しっかり理解!! (2) が利用できるように, 組合せを工夫。 別解理解できる!!

［3］どのように［ニ］を利用して解いているのかわからないので教えてほしいです

葉根の利用 複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。 (1) α^+α°+α²+α+1=0 であることを示せ。 (2)(1) を利用して,t=α+α はf2+t-1=0 を満たすことを示せ。 (3) (3) (2) を利用して, COS- 2012/3の CHART SOLUTION 解答 (1) α=1から a5-1=0 よって (a−1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0 α=1 であるから (2) α=1 から |a|5=1 ゆえに |a|²=1 すなわち aa=1 したがって, t=α+α から 1の5乗根 α =1 を満たす解 (1) 因数分解 x-1=(x-1)(x"-'+x"-2+......+x+1)を利用。 (2) ²=1のとき, |ω°|=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数) |a|=1 のとき aa=1 ...... (3) α=1の1つの虚数解をa=cos2/23 x + isin 1/3 とおいてみる。…… ゆえに πの値を求めよ。 a¹ +a³+a²+a+1=0 COS は α=1, α=1 を満たす。 2 a=cos-isin, t=a+ā 15 2 (2) から,t+t-1=0 であるから t>0であるから 12cos232x=-1+√5 よって |a|=1 よって [+(a+à)−1 = (a + ¹)² + ( a + ¹)-1 -1=Q*+α°+α²+a+1 L (3) cos2/23 x + isin 12/3とすると 120×5=2であるから t=2cOS 08²7=1+√5 4 -=0 PRACTICE･･･ 20 ④ 複素数αを α = COS- (4) 2 1 t=2 cos 2π is 27 + isin 2 とおく。 7 (1) of+o+a^+α+α'+αの値を求めよ。 (2) ta+α とおくとき セー2tの値を求めよ。 別解 (1) α=1 より 等比 数列の和の公式から 1+a+a²+a³ ta² _1-0²-1-1= [類 金沢大) 1-a ←aa=|0| (1) より t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5 2 α*+α3+α²+α+1=0. / は Cos/2/tisin COS 1の5乗根の1つ。 ←a+α=2x(αの実部) -1/ 2 =0 y la GOS/5 [類 九州大] 2

黄色い[ ]のところについてで、なぜ判別式を用いているのですか？？ 自分では①と②の式がどちらもx^2＋x＋2=0となるならば、グラフが被る。共有点はただひとつ出ないので適さない。こうだと考えました。 考え方が間違っていたら教えてください…🙏

重要 例題 79 方程式の共通解 2つの2次方程式2x2+kx+4=0、x2+x+k=0がただ1つの共通の実数 解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 1 基本 75 CHARTO SOLUTION 方程式の解 x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=αを代入した 2a²+ka+4=0,Q²+α+ k = 0 が成り立つ。これを αkについての連立方程式 とみて解く。 実数解という条件に注意。 解答 共通解を x =α とすると 2a²+ka+4=0 ‥.①, ①② ×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると ...... a²+a+k=0 (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 D=12-4・1・2=-7 D<0 であり, 実数解をもたないから, k = 2 は適さない。 [2] α=2 のとき ②から 22+2+k=0 このとき2つの方程式は 定価 2x2-6x+4=0 ゆえに ...... k=-6 ・② ・①', x2+x-6=0 ②' の解はx=2, -3 となり,①'の解はx=1, 2 よって,確かにただ1つの共通解 x=2をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解はx=2 125 x=α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 α² の項を消す。 ◆共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら、逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 ax2+bx+c=0 の判別 式は D=62-4ac 2' <-2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合、 連立方程式 ①,②を解くために,次数を下げる方針でαの項を消 去したが, この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は、 定数項を消去する方針の方が有効である。 3章 9 2次方程式

2の解法を使うときはこの形を覚えるしかないのですか？

基本例題 31 an+1=pan+ (n の1次式) 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=3, an+1=2an-n CHART & SOLUTION 漸化式 an+1= pan+ (n の1次式) (p≠1) OSHA E ① 階差数列の利用 2 an+1- f(n+1)=p{an-f(n)} と変形 8=)-(1-AS)=10- - ② の変形については右ページのズーム UP を参照。 + **S-82+ 下の解答は1の方針による解法で 別解は2の方針による解法である

高一数学　不等式の証明です。 (3)です。 黄色い線を引いているところが何してるのかが分かりません。 2分の3という数字もどこからきてるのかわかりません😢 解説をお願いします🙇‍♀️

基本例題 27 不等式の証明 (差を作る) 次の不等式を証明せよ。 また,(3) の等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a>1,6> 1/12 のとき 2ab+1> a +26 (2) x2>4x-7 CHART & SOLUTION 大小比較差を作る A>B⇔ A-B>0/ (左辺) (右辺)の式を (3) a²+3623ab (1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) 実数)+(実数) 2に変形。 [注意] 一般に,不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り,必ずしも等 号が成り立つ場合について書く必要はない。 解答 (1) (2ab+1)-(a+2b)=2ab+1¬a−2b =(26−1)a-(26-1) =(a-1)(26−1) ここで,a> 1,612/12 から b> a-1>0,26-1>0 よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに2ab + 1 > a +26 (2) x2 (4x-7)=x2-4x+7 181440 =(x2-4x+4)-4+7 =(x-2)^+3> 0 よってa²+3623ab (6 p.42 基本事項 2| 3+5/5\A)=de+1 +dDVAS+be+x)= 差を作る。 a について整理して共 通因数でくくる。 等号が成り立つのは,a-1226=0 かつ b = 0,すなわち a=b=0 のときである。 よって x2>4x-7 (3) (a²+36²)-3ab=a²-3ab+ • + (³20)² - ( 230 ) ² + 36² \€ = toka 3 (= (a−26)² + 2/0 ² 20 -b 4 について平方完成する。 (x-2)^≧0,3>0 等式・不等式の日 +(a-3 b)² ≥0, 36²20 20 (実数)² + (実数) 2≧0 を利用。

⑴が分かりません。 因数分解までは分かるのですが、どうしてωの二乗が回答のようになるのかが分かりません。(蛍光ペンの部分です)

基本例題 60 1の3乗根の性質 ( 1の3乗根で虚数のものは2つあり,その一方をωとする。た (1) 他方の虚数解はωと共役な複素数で, w2 に等しいことを示せ。 (2) w²+ω+1.w+w の値を,それぞれ求めよ。 基本事項 基 20 CHART & SOLUTION 1の3乗根の性質 1 1の3乗根は 1, ω ω2 2 ω'=1 3 w²+w+1=0 (1) 1の3乗根は方程式x=1の解であるから Momujo 0=(x) x=1→x-1=0→ (x-1)(x2+x+1)=0 よって,1の3乗根はx=1とx2+x+1=0の2つの虚数解である。 (2) ω'] = 1 を使って, ω^ と の次数を下げる。

高二、二項定理の利用です。 「2」番です。 線を引いたところが何をしているのかが分かりません。x4-2rからx2に持っていくにはどうしたら良いのでしょうか。 解説お願いします🤲🏻

基本例題 4 展開式の係数 (1) (二項定理の利用) 次の式の展開式における,[ ]内に指定されたものを求めよ。 (1)(2x+3) [ x の項の係数] (2)(x-2/2)[x2の項の係数] p.12 基本事項 CHART & SOLUTION 二項定理 (a+b)" の展開式の一般項はnCran-br 指定された頃だけを取り出して考える。 (1) 展開式の一般項はC, (2x2) 6-1.3' = 6Cr・26-1.3x12-2 12x6 となる を求める。 (2) 展開式の一般項は Crx+(2/2) '=, C.2x.. .4-r. = = x2 となる r を求める。 XC 解答 (1)(2x2+3) の展開式の一般項は Cr(2x2) 6-1.3' = 6Cr.26-1.37x12-2r x の項は r=3のときであるから, その係数は 6C3・23・3°=20×8×27=4320 (2)(x+2/24) の展開式の一般項は C₁x (2) Cr-zx- = =x2 から x4-r=x2xr -*₁ = = ① よってr=1 ゆえに,x2の項の係数は Pedal もつことがわかる。 お人好き MOTTUJ 200 nCh ¥20円+ px の形に変形 ←12-2r=6 から r=3 DK p.136 ① から x++0+1+0 ・+ 当店される入れてもよい。 通り 二項係数 C について =x 4C1・2′=4×2=8+ (1) + xr 1章 1 =x4-2r これから 4-2r=2とし STA$ 1-4-r=2+r ²5 r=1 INFORMATION (a+b)” の展開式は (a+b)(a+b)(a+b)….. (a+b) の ①~⑦から,それぞれ a, b (①~⑦から、それぞれ。 ① 3 のどちらかを取り, それらを掛け合わせたものの和である。 よって, α"-6" の項の係 数はn個の (a+b) から6を取り出す個を選ぶ場合の数, すなわち Cr である。 ｢α」 を取り出す個数に注目しても nCr = nCn-r から同じ結果になる。 ) (S) ++

解答欄に答えを書く際に1<x<5ではなく 2≦x<5と1<x2のように別々に書いたらバツになりますか？

次の不等式を解け。 (1) |2x-4|<x+11+ (2) |x-2+2x+1|≤68 + CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け 基本例題 35 と同様、 場合分けで絶対値記号をはずして解く。 絶対値記号内の式が 0となるxの値が場合の分かれ目。 (2) 2つの絶対値記号内の式が 0 となるxの値は 2, -1 よって, x<-1, -1≦x<2､2≦xの3つの場合に分けて 解く。 ...... または ② 1<x<2...... TABON (2) よって x>17 x<2との共通範囲は 不等式の解は ①と②を合わせた範囲で 1<x<5<6 解答 (1) [1] 2x-4≧0 すなわち x≧2のとき, 不等式は [1] 2x-4<x+1 よって x<5 x≧2との共通範囲は 2≦x<5 ・① [2] 2x-4<0 すなわち x < 2 のとき, 不等式は -(2x-4)<x+1 すなわち -2x+4<x+1 x-2<0x-2≧0 x+1≧0 x+1 <0, [2] -1 te T 2 1 2 ③ 基本 35 2 CS (S) ホテルチ 1 x - 5 OLO 5

（3）変形して、のあとの式をどう作るのですか？ この式を作れば解けるとはわかるんですが、なぜ➕2にすると検討が着くんでしょうか？ 教えて欲しいです

502 基 本 例題 108 Sを含む漸化式 数列{an}において,初項から第n項までの和Sn と an の間に, Sn=-2an-2n+5 の関係があるとき (1) 初項 α1 を求めよ。 (3) 数列{an}の一般項を求めよ。 解答 (1) S=α であるから, Sn=-2an-2n+5 n=1 とすると a=-2a-2・1+5 よって (2) ①から CHART SOLUTION 和Snを含む漸化式 Sn+1- Sn=an+1, S1 = α」 を利用 ・・・・・・ (2) S=-2a-2n+5でnの代わりに n +1 とおいて, Sn+1 を求め, Sn+1- Sn=an+1 を利用する。 この等式は, n ≧1 で成り立つ。 ゆえに ②① から Sn+1-Sn=an+1 であるから ゆえに よって 2 a₁ =1 -an Sn+1=-2an+1-2(n+1)+5 Sn+1-Sn=-2an+1+2an-2 an+1=-2an+1+2an-2 2 an+1= -an 3 (2) an, an+1 (3) an+1= 2 を変形して 3 また α+2=1+2=3 よって, 数列{an+2}は,初項 3,公比 の等比数列である。 2 \n-1 = 3(-/-)² - ¹ an+2=30 an=3 2 3 An-1 -2 2 3 Follooon の2項間の関係式を求めよ。 基本94.10 [類 皇學館大 ] • ① において an+1+2=12/23(an+2) PRACTICE... 108 ③ 数列{an}の初項から第n項までの和らが BB ← ① の n に n +1 を代入 n≧1で成り立つ。 2 +a= }a- } a=-2 2+4m を解くと 基本例 平面上に 上の円は るか｡ CHART 漸化 を満たすとき NOT.CO2 考 解答 n個の円 平面上に す円を1 交点が2 の弧に分 面が2分 よって ゆえに よって、 a₁=2 したが PRAC n≧ 3個

マークしてあるところがどうやって解けばいいのか分かりません。途中式教えて頂きたいです🙇‍♀️

B(5,-2) 角は90° きの積が1 えるとき、 除く。 よい｡ 基本例題 85 円の方程式の決定 (2) 3点A(3,1),B(6, -8), (-2, -4) を通る円の方程式を求めよ。 CHART & SOLUTION 3点を通る円の方程式 一般形x2+y2+bx+my+n=0 を利用 1 一般形の円の方程式に、与えられた3点の座標を代入。 ②1,m,nの連立3元1次方程式を解く。 基本形を利用しても求められるが, 連立方程式が煩雑になる。 別解 垂直二等分線の利用 求める円の中心は, △ABCの外心であるから, 線分 AC, BC それぞれの垂直二等分線の 交点の座標を求めてもよい。 解答 求める円の方程式をx2+y2+bx+my+n=0 とする。 点A(3, 1) を通るから 32+12+3+m+n=0 点B(6, -8) を通るから 62+(-8)^+6Z-8m+n=0 点C(-2, -4) を通るから (-2)2+(-4)²-21-4m+n=0 整理すると 3l+m+n+10=0 61-8m+n+100=0 21+4m-n-20=0 これを解いて y=-6, m=8,n=0 よって, 求める円の方程式は 別解 △ABCの外心Dが求める円 の中心である。 線分 AC の垂直二等分線の方程式は x + 3/² = -(x-1/²) 2 x2+y2-6x+8y=0 YA 0 すなわち y=-x-1 線分BCの垂直二等分線の方程式は y+6=2(x-2) ****** ? すなわち y=2x-10 ①,②を連立して解くと x=3, y=-4 よって, 中心の座標はD(3,-4), 半径は AD=1-(-4)=5 ゆえに, 求める円の方程式は A 中心D p.138 基本事項 1 (x-3)²+(y+4)²=25 ←一般形 が有効。 141 (第1式)+(第3式) から l+m-2=0 (第2式)+ (第3式)から 21-m+20=0 線分 ACの B +(1.-2). 傾き 1 よって 3/+18=0 など。 線分BCの 中点 (2, -6), 傾き - 1/2 las 3章 12 円,円と直線,2つの円