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例題 79
最大公約数・最小公倍
★★★
次の(A), (B), (C)を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし
abcとする。
(A) a, b, c の最大公約数は6
(B) bとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144
(C) aともの最小公倍数は240
脂 前ページの例題 78 同様, 最大公約数と最小公倍数の性質をフル活用する。
2つの自然数αの最大公約数をg 最小公倍数を1,a=ga', b=gb′ とすると
1α'と'は互いに素
2 1=ga'b'
3 ab=gl
例えば、(A)より, a=6k, b=6l,c=6m(k,l,mは互いに素3数の最大公約数は 1 )
としても,3数k,L,mのうちの2数が互いに素とは限らないから、うまくいかない
そこで、(A) は後回しにし、先に,前ページ練習 78(1) と似た条件の (B) から取り掛かるの
がよい。 (B) から b, c, 次に,(C)からαの値を求め, 最後に (A) を満たすかどうかを確認す
る方針で進める。
(B) の前半の条件から,b=24', c = 24c′ と表される。
ただし, 6','は互いに素な自然数で 6'<c'
①
(B)の後半の条件から 24b'c'=144 すなわち 6'c' =6
これと ①を満たす 6', ' の組は
◄ gb'c'=1
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
よって
(b,c)=(24,144), (48,72)
(A)から, αは2と3を素因数にもつ。
また,(C)において 240=24.3.5
[1] b=24(=23) のとき, αと24の最小公倍数が240
であるようなのは a=24.3.5
これは, a<bを満たさない。
[2] 648(23) のとき,」と 48 の最小公倍数が240
であるようなのは a=2.3.5
ただし
p=1,2,3,4
<48 を満たすのはp=1の場合で、このとき
a=30
30,4872の最大公約数は6, (A)を満たす。
以上から (a,b,c) = (30,48,72)
b=246′,c=24c
最大公約数は6=23
240-24-3-5
[1] 6=2'3
[2] 6=2*•3
これからαの因数を考え
る。
