文系の数学実戦力向上編６９（2）が、解説を読んでもわからないです。年利、元利の意味なども教えていただきたいです。よろしくおねがいします。

138 数列を中心にして 69 等比数列(複利計算) 1.03=2.09 とする. 毎年1回α 万円を年利率3%で24回積み立てたとき, 24年後の利息 を含めた積み立て総額は 4万円である. (2) 100万円を年利3%の複利で年のはじめに借り、その年から元利を毎 円ずつ返済し、25回で完済するものとする. x 円である。 ただし、 答えは千円未満を切り上げたものを答えよ. (1) =1.03 とする. 2.09 である. 1年目の最初に預けたa万円(1回目の積み立て金)は、1年目の末に3%の利 息がついて 1.03 万円,すなわち α7 万円になっている。このα万円は2年目の末 に3%の利息がついて or万円になる。このようにして、1年目の最初に預け た。 万円は24年目の末に α万円になる.同様に、 2年目の最初に預けた万円(2回目の積み立て金) は ar²23 万円, 3年目の最初に預けた 24年目の最初に預けた万円(24回目の積み立て金) は αr 万円 となる。したがって, 24年後の利息を含めた積み立て総額は、 ar(2-1) ar+ar+ar+ +ar=" r-1 X As-1-²-1=₁ A₂- [4] これより、数列{A 数列であり、初項はA.- X は α7万円, 万円(3回目の積み立て金) 1.06 106 0.03 3 (2回目の返済をした後の元利残高を A. とする. A = 100×10' である. 回目と1回目の返済後の状態に注目すると、 Ap=rlax が成り立つ。これを変形すると. r-1 a(²5-r). r-1 X a(2.09-1.03) 1.03-1 a= は公比rの等比 ( 岡山商科大 ) であるから、 a an+1=pan+q (p=0.1) の形の漸化式は, α=pa+g を満たすαを用いて、 a+α=plan-α) の形に変形する. 本間のαは、 a=ra-xより, (r-l)a=x a= X r-l An-7-²-1-(40-2²1) Ap T x A₁ = (40-72₁ An 1 25の場合を考えると, A250 Ax=40-7²1) ²+²1 25+. r-1 r-1 0=100×10^- x 0.03 ×2.09+ 0=(3×10^-x) ×2.09+x であり, Ap=100×10', A2=0, 2.09 であるからなので、1,100万 Aは返済後の段 高であり、完済してい T. As=0 11 としているから、公比をかける回数に 注意する。 つまり、 ではない! 文系 数学の必勝ポイント 数列を中心にして X 0.03 1.09x=6.27×10^ ...x = 5.7522 ×10^ したがって、千円未満を切り上げると、求めるべき金額xは、 x=58000円 解説講義 積み立ての問題、借金の返済の問題は、等比数列の実生活における応用例の1つとして出 題される。 出題数は決して多くないのであるが、理系よりも文系での出題が目立つので本書 で扱うこととした. (1) は, 毎年、一定金額を積み立てていく問題である。 1回目の4万円の入金を2001年1 月1日に行ったとすると､このα万円には2001年12月31日に利息がついて × 1.03万円 になる。 このax 1.03 万円には 2002年12月31日に2回目の利息がついて × 1.03²万円 になる。 このようにして, 1回目に入金した。 万円には2024年12月31日に24回目の利息 がついて。 × 1.03 万円になる. (これが 「複利」と言われるものである) 2002年1月1日に2回目のα万円の入金を行うが、この万円は2024年12月31日に23 回目の利息がついて a × 1.03万円になる. そして、2024年1月1日に24回目の万円の 入金を行うが、このα万円は2024年12月31日に1回だけ利息がついてa×1.03万円にな る。「最後の万円に利息がつかない」と誤解しないようにしよう｡ (もし利息がつかないと。 預金したのに銀行が利息を支払っていないということになる) 結局2024年12月31日には、1回目に入金した。 万円はa×1.03 万円に、2回目に入 金した。 万円は×1.032 万円に, そして24回目に入金した。 万円はa×1.03 万円になって いるから,これらの合計が24年後の積み立て総額である。 (2)は複雑である。借り入れた100万円に利息がついて借金の残高が増える同時に、支払い によって借金の残高は減る。 そこで、1年目からの残高の変化を考えると混乱してしまいそ うなので、n回目とn+1回目の返済後の残高の関係に注目して漸化式を立てて考えている。 積み立ての問題 ① 利息がつく回数に注意して、 等比数列の和で総額を求める ② 借金の返済では漸化式も有効である 139

解説の一文目の2^n＋1のところなぜ分解するんですか？ 分解した式と分解しない式じゃ答え変わりますよね？

α1=1, ax+1=24²-3 (n=1, 41=10, +1=6a2+2 (n=1, 2, 3, ···) で定められる数列{an}がある。 an (1) ba(n=1,2,3,.....) とおくとき, be-1 を be で表せ。 2" (2) bm をnで表し、 次に をnで表せ。 2 a-l

この問題教えてください！ お願いします🙇‍♀️

22 等比数列 1/31 1 27 ･･・の初項から第n項までの和

解説の一文目の2^n＋1のところなぜ分解するんですか？ 分解した式と分解しない式じゃ答え変わりますよね？

a₁ = α1=10,x+1= 6m 2" +2 (n=1, 2, 3, … で定められる数列{a}がある。 4+1 an (1) b=be bm (n=1,2,3,...)とおくとき, bus を be で表せ。 (2) bm をnで表し、 次に をnで表せ。 2 a-l

解説の一文目の2^n＋1のところなぜ分解するんですか？ 分解した式と分解しない式じゃ答え変わりますよね？

40 次の各問いに答えよ。 〔1〕次の漸化式で定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=2, an+1=2a+1 (n=1, 2, 3, ··) 〔2〕 次の漸化式で定められる数列{an}の一般項と,初項から第n項までの和を求めよ。 Q1=1, x+1=24-3 (n=1, 2, 3, ······) 41=10, an+1=6.2 +2 (n=1, 2, 3, ..... で定められる数列{a} がある。 an (1) =(n=1,2,3,..…) とおくとき, but を be で表せ。 2" (2) bm をnで表し、 次にをnで表せ。

解説の一文目の2^n＋1のところなぜ分解するんですか？ 分解した式と分解しない式じゃ答え変わりますよね？

40 次の各問いに答えよ。 [1] 次の漸化式で定められる数列{an}の一般項を求めよ｡ 41=2, an+1=2a+1 (n=1, 2, 3, ······) 〔2〕 次の漸化式で定められる数列{an}の一般項と,初項から第n項までの和を求めよ。 Q1=1, an+1=2a-3 (n=1, 2, 3, ······) α1=10, as+1= 6m 2" +2 (n=1, 2, 3, … で定められる数列{an}がある。 an (1) obs (n=1,2,3,....)とおくとき, bmw-1 を be で表せ。 = bm (2) bm をnで表し、 次に をnで表せ。 G c 2 10-1

２番です、(α,β)=(-2,1)のときは(３枚目のように)上手くいかないから(α,β)=(1,-2)で計算しているのですか？ またbnが求まったらなぜ3枚目のように計算できるのですか？

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α) an=8-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-₁ 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③

赤下線部は公式のようなものですか？ なぜこのように表せるのですか？

基礎問 196 第7章 数 128 3項間漸化式 a=2, as=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an) がある. (1) Qn+2-Qan+1=β(an+1- can) をみたす2数α, B を求めよ。 (2) an を求めよ. an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 f=pt+q の解をα, βとして,次の2つの場合があり ます。 (I) α=β のとき an+2=(a+β)an+1-aBan より an+2-dan+1=B(an+1 - aan) an+2-Ban+1=a(an+1 - Ban) ①より, 数列{an+1- dan} は,初項 α2-αa1, 公比βの等比数列を表すので an+1-aan =β"-1(a2-aas) ......1' ......2' 精講 同様に,②より, an+1-Ban=an−1 (az-Bas) ①-②より, (B-α)a=B-1 (a2-aas) a" (az-Bar) B-1 (az-dai)-an-1 (az-Ba) ... an= β-a 注実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く, その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき an+2-αan+1=α(an+1-aan) ∴an+1-adn=an−1 (a2-aas) つまり、数列{an+1-aan}は,初項 a2-aa1, 公比αの等比数列. ③ の両辺を α7+1 でわって n≧2のとき, よって, an n-1 k = 1 Q ai a an+1 an ak+1 ak k+1 -=(n-1), a ₂-1 1 n-1 an a2aas Q² a₂-αa₁ q² ・③

お願いします 解説見ても何一つわからないです

* 45 2 a1=5, an+1= an+1 (n=1,2,3,…..) で定義される数列{an}の一般項を、次の2つの考 3 え方で求めてみよう。 以下のア [ 考え方1] 数列{an-α} が等比数列となるような定数αを求めると α = ア となる。 このαに対して,数列{an-α} が公比 の等比数列になることを用いる。 (i) 答案を作成せよ。 (ii) 答案を作成せよ。 〔考え方 2] 階差数列を考える。 数列{an+1 - an}が公比 an= ケ については,当てはまる数を答えよ。 である。 カ 〔考え方1〕, 〔考え方 2] のいずれの考え方を用いても,一般項を求めることができ, n-1 + キ イ ウ ● ク ケ I オ の等比数列になることを用いる。

解説の一文目の2^n＋1のところなぜ分解するんですか？ 分解した式と分解しない式じゃ答え変わりますよね？

〔3〕(1) 両辺を2+1 で割ると+1 6an = 2"+1 すなわち 13--2 an 2x+2 2n+1 2x+1 よって bn+1=36-2... ① (2) ① を変形して bn+1−1=3(b-1) よって, 数列{bm-1} は初項b-1=10−1=4 公比3の等比数列であるので bn-1-4-3-1 よって b=4.3"'+1 したがって an=2"bs=2+2.3-1 +2" (1 I