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5 ベクトル方程式
基本事項
I 直線のベクトル方程式
直線上の任意の点Pの位置ベクトルをあとし, s ともを実数の変数とする。
0 定点 A(a)を通り, ōでないベクトルさに平行な直線
àは直線の方向ベクトル
あ=a+td
2 異なる2点A(ā), B(6) を通る直線
カ=(1-t)a+t5 または カ=sa+tō, s+t=1
3 定点A(a)を通り, ōでないベクトル元に垂直な直線
n-(6-a)=0
nは直線の法線ベクトル
つ心
解説
曲線上の点の位置ベクトル方の満たす関係式を, その曲線の ベクトル方程式 という。
<直線のベクトル方程式>
① 右の図において
の
P
tà
(AF/OD または AP=0) → AF=tOD
→OF-OA=tOD→カーa=tā
から,この直線のベクトル方程式は
このとき,dを直線④の 方向ベクトル, tを媒介変数 と
いう。
A
あ=a+td
A
a
ィD
0d
更に,原点を 0, 点 A(x1, y), 直線A上の任意の点を
P(x, y) とし, ā3(1, m) とすると
のから
(x, y)=(x1, y)+t(7, m)=(xi+tl, yi+tm)
[x=x+tl
B
すなわち
B
ly=yュ+tm
d(D-9)?
A
連立方程式Bを, この直線の 媒介変数表示 という。
2 0でd=AB の場合を考えて,直線 ABのベクトル方程式
は,AB=5-āから
カ=a+t(5-2)
a
すなわち
b=(1-t)a+t6
治 00
③ 右の図において
(AF」7 または AP30) →元AF%=0
から,この直線のベクトル方程式は
このとき, nを直線 © の法線ベクトル という。
更に, A(xi, 4), P(x, y), n=(a, b) とすると
カーa=(x-X, yーy)であるから, ©は
a(x-x)+6(y-)3D0
C=-ax」-byiとすると
よって, 直線 ax+by+c=0 はベクトルn=(a, b)を法線ベクトルにもつ。
n-(6-d)=0
P
A
a
ax+by+c=0
C0
S°DA
