馬 難易度 太文廊 目本解答時間 18分 | 96 166|
右の図のように, 三角形 ABC の辺 BC上 除く) に100
個の点i。 Pz。 …。 Bi を, 辺CA上 (両端を除く) に 100 個の
点 。 Qz。 …, Qi を、 辺 AB 上 (両端を除く) に100個の
点 Ri。 Rs。…。 Ri をとり、 300 本の線分 APi、 AP。, …, APiw,
BQi。 BQz。 …,。 BQp。 CRi。CRz。…, CRie を引く
ただし, この 300 本の線分のうちどの 3 本も三角形 ABC の内部
の同一の点で交わることはないものとする。以下, 三角形 ABC の
内部を研とする。
このとき, がこの 800 本の線分によっていくつの部分に分けられるかを,
針によって求めよう。
1)
以下の(1) (2)の二つの方
方針 1
まず, 3 本の線分 AP」BQj CR」 を引き, 次に 3 本の線分 APz, BQz, CR。 を追加して引く
というように, 線分を 3本ずっ追加していき, 分けられた部分の増加する様子を調べる
3ヵ 本の線分 AP AP証誠AP BQj。BQ。。…, BQ,, CRi。CR。。 …, CR。を引いたとき,
100) の部分に分けられるとする
ながこの 3z本の線分によってg,個 (zニ1、2, 3, …,
まず, 3 本の線分 AP BQCGRj を引く と, 末はピアー 個の部分に分けられるので, gi=ニしア_ 1
である。
さらに, 線分 AP。 を引くと線分 APz はすでに引いてある 3本の線分 AP BQi。 CRiのう
ちイ 」本と で交点をもちち) この同相個の交点によって線分 APp。はラウ ]個の線分に分け
られる。 したがって 刀は線分 APを引くととによりしウゥ |個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 APz を引いたうえで線分 BQ。 を引くことにより, はさ ちに[| エ 1個た
け多くの部分に分けられ, 線分 AP と線分 BQz を引いたうえで線分CR。を引くことにより, は
さらにチチ ]個だけ多くの部分に分けられる。
したがっ
みニのオトウッ 下司生軸肝司呈司2iiml記5き
すなわち, 数列 {gz} の階差数列の初項は「 カキ |であることがわかる。
ァー1. 2, 3, …, 99 のとき, 3 本の線分 APj APz。 …。 AP,。BQi。BQ。 …, BQ。。 CR
CR。, …, CR がの, 個の部分に分けられているときに, さらに線分 AP+ を引くと,
線分 AP。。」 はすでに引いてある 3 本の線分の う ち四|本と で交点をもち, この[し ク |個の
交点にようて線分 AP。。」 は 個の線分に分けりれる。 したがって,アは線分 AP を引くこ
とにより[| ヶ ]個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 AP。」 を引いたうえで線分 BQ。jiを引くことにより, 子はさらに
ヒコ ]個だけ多くの部分に分けられ, 線分AP。」と線分BQ。。」を引いたう えで線分 CR。。」 を引く
ことにより, 末はさらにしサ ]個だけ多くの部分に分けられる。
[テコーレチー に当てはまるものを, 次の⑳⑩-⑩のうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返
し選んでもよい。
