基本 例題 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき,途中で地点P を通る確率を求めよ。
ただし,各交差点で、東に行くか、北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率1でその方向に行くも
のとする。
00000
P
B
A
基本 52 重要 55
求める確率を
指針
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
から,
5C2X2C2
7C3
とするのは誤り!
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって確率
が異なる。
例えば, A111-
→→
P→→Bの確率は
111
222
•1•1•1•1
・1・1=1/
8
A→1→↑↑P→→ →Bの確率は
1111 1
1
.
‥・1・1=
22
2 22
32
XOS
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
右の図のように, 地点 C, D, C', D', P' をとる。
解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
4
右図の
出たら
別に使
たら下
れぞれ
Aは点
「う確率
CDP
B
CD P
B
指針
A
a.
C' D'
P'
[1] 道順 A→C→C→P
この確率は1/2×1/2×1/2×1×1-(1/2)-1/2
3
し
=
8
[2] 道順 A→D'′→D→P
[3] 道順 AP’→P
この確率はC(1/2)(2/2)x1/2×1=3 (12) -17161111と進む
3
=
[1]
[2] ○○○
と進む。
この確率は
6
=
32
よって、求める確率は
1
3
+
+
8
16
63
32
=
16
1
○には1個と
入る。
[3] ○○○○
○には2個と12個が
2個が
進む。
32
2
入る。
