31円 (Ⅲ)
2つの複素数え、wがあって、2つの式 | z-i|=1, w=(1+i)z が成
たっている.このとき、次の問いに答えよ.
(1) 2は複素数平面上で,どのような図形をえがくか.
(2)は複素数平面上で,どのような図形をえがくか.
精講
(1)|zi=1は,点ぇと点えとの距離がzの位置にかかわらず1
という意味です。
(2)解答は2つありますが、いずれも考え方は数学Ⅱの軌跡の考え
方(ⅡB ベク45)を使っています.すなわち,他の変数を消去という
考え方です.
1. z=x+yi, w=u+vi とおいて, u, vの関係式を求める方法 (30)
II. | z-i|=1 を利用して,|w-a|=r 型を目指す方法
い。
2つとも解答にしてみますが、できるだけII を使えるようになってくださ
解答
(1) |z-i|=1 より, 点と点の距離はつねに1.
よって, zは点を中心とする半径1の円をえがく。
(2) (解I)
z=x+yiw=u+vi(x, y, u, vは実数) とおくと,
w=(1+i)z=(1+i)(x+yi)=(x-y)+(x+yi だから
w=(1+izより,u=x-y, v=x+y
..
✓ x=1½ (u+v), y=1½ (v-u)
(*)
ここで, z-il=1 に z=x+yi を代入して
|x+(y-1)i|=1
x²+(y-1)²=1)
(*)を代入して, 1/2(2+b)2+1(v-u-2)²=1
(u+v)2+(u_u)2-4 (v-u)+4=4
2u2+2v2-4v+4u=0
vuをひとまとめ
にして展開すると
計算がラクになる
