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次の関数の最大値が7となるように,定数cの値を定めよ。また,そのときの最小値を求
めよ。
(1) y=3x?+6x+c(-2<x<1)
(2) y=-2x?+12x+c(-2<x<2)
解答(1) c=-2, x=-1で最小値 -5
(2) c=-9, x=-2で最小値 -41
解説
(1) y=3x?+6x+cを変形すると
y=3(x+1)?+c-3
c+9
-2<x<1であるから,この関数は
x=1 で最大値
x=-1で最小値
をとる。
x=1のとき
y=c+9
最大値が7となるための条件は
c+9=7
ゆえに
c=-2
-2<xs1
また,x=-1で最小値c-3=-5をとる。
別解 y=3(x+1)?+c-3から,この関数のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線
x=-1である。
1
軸は定義域の中央である x=--
よりも左寄りにあるから,x=1で最大値をとる。
x=1のとき
最大値が7となるための条件は
y=c+9
c+9=7
よって
c=-2
このとき,x= -1で最小値c-3=-5をとる。
(2) y=-2x?+12x+cを変形すると
x=3
y=-2(x-3)?+c+18
-2SxS2であるから,この関数は
c+16
x=2 で最大値
x=-2で最小値
をとる。
x=2のとき
y=c+16
最大値が7となるための条件は
c+16=7
ゆえに
c=-9
-2<xS2
また,x=-2で最小値c-32==-41 をとる。
別解 y=-2(x-3)2+c+18から,この関数のグラフは上に凸の放物線で,軸は直線
x=3である。
軸は定義域の右外にあるから,x=2で最大値,x=-2で最小値をとる。
x=2のとき
y=c+16
最大値が7となるための条件は
c+16=7
よって
c=-9
このとき,x=-2で最小値c-32= -41 をとる。
