Question

マカロン

この問題のｃの求め方までは分かるのですが、最小値の求め方が分からないので教えて下さい。

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次の関数の最大値が7となるように,定数cの値を定めよ。また,そのときの最小値を求
めよ。
(1) y=3x?+6x+c(-2<x<1)
(2) y=-2x?+12x+c(-2<x<2)
解答(1) c=-2, x=-1で最小値 -5
(2) c=-9, x=-2で最小値 -41
解説
(1) y=3x?+6x+cを変形すると
y=3(x+1)?+c-3
c+9
-2<x<1であるから,この関数は
x=1 で最大値
x=-1で最小値
をとる。
x=1のとき
y=c+9
最大値が7となるための条件は
c+9=7
ゆえに
c=-2
-2<xs1
また,x=-1で最小値c-3=-5をとる。
別解 y=3(x+1)?+c-3から,この関数のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線
x=-1である。
1
軸は定義域の中央である x=--
よりも左寄りにあるから,x=1で最大値をとる。
x=1のとき
最大値が7となるための条件は
y=c+9
c+9=7
よって
c=-2
このとき,x= -1で最小値c-3=-5をとる。
(2) y=-2x?+12x+cを変形すると
x=3
y=-2(x-3)?+c+18
-2SxS2であるから,この関数は
c+16
x=2 で最大値
x=-2で最小値
をとる。
x=2のとき
y=c+16
最大値が7となるための条件は
c+16=7
ゆえに
c=-9
-2<xS2
また,x=-2で最小値c-32==-41 をとる。
別解 y=-2(x-3)2+c+18から,この関数のグラフは上に凸の放物線で,軸は直線
x=3である。
軸は定義域の右外にあるから,x=2で最大値,x=-2で最小値をとる。
x=2のとき
y=c+16
最大値が7となるための条件は
c+16=7
よって
c=-9
このとき,x=-2で最小値c-32= -41 をとる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

りお　Q&Aのみ

最小値のxの値は分かったんだよね？
そしたら、それを元のyの式に代入してみよう！

マカロン

元のyの式に代入して求められたのですが、解説を見たら自分の書いた式と解説式(黄色)が違ったので、もっと簡単に求められる式があるのかなと思い質問しました。説明不足ですみません。

りお　Q&Aのみ

(１)は、このグラフって、定義域の中に軸あるじゃん？あと、下に凸だから平方完成した時の頂点のy座標が最小値になる。
そしたら平方完成した後の式見てもらうとわかる通り、頂点のy座標はｃ−3だからｃ=-2を代入して-2-3=5って感じだよ！
(2)も同じ要領でできる

マカロン

ありがとうございます!