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基本 例題
30 線分の垂直に関する証明
00000
正三角形でない鋭角三角形ABC の外心を0, 重心をGとし, 線分 OGのG
を越える延長上にOH=3OG となる点Hをとる。5人
このとき, AH⊥BC, BHICA, CHIAB であることを証明せよ。
CHART O
OLUTION
垂直積利用図
p.352 基本事項 3, p.370 基本事項]
基本 61
AH・BC=0, BH・CA=0, CHAB=0 を示す。MOITO
また,外心の性質 OA=OB=OC や, OH, OG なども出てくるから,点0を始
点とする位置ベクトルで考える。
04=α, OB=6, OC=cとする。
0は△ABCの外心であるから
OA=OB=OC
よって|a|=||=||
A
a
G
◆外心は, △ABCの外接
0
●H
Gは△ABC の重心であるから
b
10
C
B
C
a + b + c
OG=
円の中心であるから,
OA, OB OC の長さは
すべて外接円の半径と
等しい。
381
位置ベクトル ベクトルと図形
ゆえに AH OH OA=3OG-DA= (a+6+2)a=6+2
T AH BC=(b+c) · (c−b)=|c|²-| b|2=0
AH=0, BC ±0 であるから AHBČ
したがって AHBC
更に BH=OH-OB=30G-OB = (a +6+c)=a+c
CH-OH-OC-30G-OC=(a+b+c)-c=a+b
A BH CA=(a+c) (a–c)=|a²-|c²=0
B=0, CA = 0, CH≠0, AB ¥0 であるから
CH・AB=(a+b)・(-a)=|6-la=0
よって BHICA, CH⊥AB
BHICA, CH⊥AB
C
<<-OH=30G
1=161
AH = 0 のとき、
∠A=90° (直角三角形)
となり、不適
■||=||
||=|a|
inf. この例題の点Hは
△ABCの垂心となる。
外心, 重心、垂心を通る直線(この問題の直線OH) をオイラー線という。なお,正三角
形の外心、内心、重心, 垂心は一致するため, 正三角形ではオイラー線は定義できない。
PRACTICE... 303 三角形 OAB において, OA=6,OB=5,AB=4 である。 辺OA
を5:3
@
f)に内分する点をDとし,辺BCと辺
に答えよ。
