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5
F 図形の性質の証明
応用
例題
2
三角形の頂点に向かい合う辺を,その頂点の 対辺という。
△ABCの3つの頂点から,それぞれの対辺またはその延長に
下ろした垂線 AL,BM, CN は, 1点で交わることを証明せよ。
解説 平面上に座標軸を適当に定めて、図形の関係を式で表す。
証明
直線 BC をx軸に,垂線AL をy
y
10
軸にとって,△ABC の各頂点の
座標を,それぞれ次のようにおく。
A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)
ただし, α≠0 である。
a A
H
M
C
L
b = 0 または c = 0 のときは,
b OL
x
△ABC は直角三角形となり、3本の垂線は,原点で交わる。
b0 かつ c≠0のとき、直線ABの傾きは
垂線 CN の方程式は
a であるから,
b
o
a
y= =1/(x-c) すなわち y= b
bc
x-
a
a
直線AC の傾きは-a
C=
直線ACの傾きは であるから,垂線BM の方程式は
y=(x-b) すなわち y=
bc
x-
a
a
よって, 2 直線 CN, BM は,ともに点H(0,-bc)を通り,
Hはy軸上, すなわち直線AL上にある。
したがって, 3本の垂線 AL, BM, CNは1点で交わる。 終
無
1.
2.
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3
10
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