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A
B3
式と証明・ 高次方程式 (20点)
多項式 P(x)=x(k-1)x+(3k-6)x+4k-6 がある。 ただし, は実数の定数とする。
(1) P(x) をx+1で割った商を求めよ。
(2) 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。 また, こ
の3つの実数解の積が1となるようなkの値を求めよ。
(3) 方程式 P(x)=0 が異なる3つの実数解をもち, すべての解が-2<x<1 を満たすと
きのとり得る値の範囲を求めよ。
配点 (1) 5点 (2) 7点 (3) 8点
解答
(1)
P(x) を x+1で割ると次のようになる。
x²-kx+(4k-6)
x+1)x(k-1)x2+(3k-6)x+4k-6
+x²
-kx"+(3k-6)x
-kxi
-kx
(4k-6)x+4k-6
(4k-6)x+4k-6
0
よって, 求める商はxkx+4k-6
x²-kx+4k-6
完答への
道のり
多項式の割り算をして、商を求めることができた。
-37-
組立除法を用いて計算すると, 次
のようになる。
-11-(k-1) 3k-64k-6
-1 k-4k+6
1
-k 4k-6
0
(2)
(1)より, 方程式 P(x)=0の解は,x=1と2次方程式
x-kx+4k-6= 0
の解である。
よって, 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、 ①が-1
ではない異なる2つの実数解をもつことである。
ここで、①の左辺にx=-1 を代入したときの値が0でないことから
(-1)-k-(-1)+4k-6+0
k + 1
また、①の判別式をDとすると
D=(-k)"-4(4k-6)
=k-16k+24
①が異なる2つの実数解をもつとき,D>0より
k<8-2,10, 8+2/10 <k
② ③ より 方程式 P(x) =0 が異なる3つの実数解をもつようなkの値
の範囲は
k<1, 1<k<8-2/10, 8+2√10 < k
このとき、①の2つの解をs, tとおくと, 方程式 P(x)=0の解はx=-1,
8, tと表される。
①において,解と係数の関係により
s+t=k, st=4k-6
が成り立つ。
2次方程式 ax+bx+c=0
の判別式をDとすると
2次方程式 (*) が異なる2つの実
数解をもつ⇔D>0
ただし,D=4ac である。
>0のとき、2次不等式
ax+bx+c > 0 の解は(*)の2つ
の実数解をα.β(α <β) とすると,
x < a, B<x である。
2,1040 <7 より
8-2√10>1
解と係数の関係
2次方程式 ax+bx+c=0 の2
方程式 P(x)=0の3つの実数解の積が1となるから
一つの解をα, β とすると
-st=1
⑤ より
4k-6 -1
k =
a+B=
aẞ=
8-2/10-
27-8/10
4
√729-640 >0
4
すなわち、18-2410 となり,k2は、③を満たす。
圈 k<1,1<k<8−2/10, 8+2/10 <kik=2
解の吟味を忘れないようにする。
27=√27=√729,8,10=640
