三の2、四．五を解いて欲しいです

平行四辺形 ABCDにおいて, 対角線の交点をEとする。 AB%=5, AD=d とするとき, 次のベクトルをあ, àを用いて表せ。 (2) BE 1 (1) EC (3) EA 5(2) al=1, 1万1=2 のとき, 次の値の最大値, 最小値を求めよ。 3)=(2, x), お%= (x+1, 3) とする。 (1) 2+とa-25が垂直になるように, xの値を定めよ。 (2) 24+5とa-25が平行になるように, xの値を定めよ。 10 4 AABC の外心を0, 重心をGとし, OH3DOA+OB+OC とする。 (1) 点0, G, Hは一直線上にあることを証明せよ。 (2) Hは△ABCの垂心であることを証明せよ。 5)AABC において, 辺 ABを1:2に内分する点をD, 辺BCを3:1に内 分する点をE, 辺 CAを2:3に内分する点をFとする。また, 線分 AE と線分 CD の交点をPとするとき, 次の問いに答えよ。 15 (1) AB=5, AC=2 とするとき, AF をあ,こを用いて表せ。 (2) 3点B, P, F は一直線上にあることを示せ。 6 AOAB において, 辺 OA を2:1に内分する点をC, 辺OBの中点をD とし,線分 AD, BCの交点をPとする。実数 m, nを用いて, OP = mOA+nOB と表すとき, 次の口に適する数は何か。 また, 1m, nの値を求めよ。 20 (1) OP = mOA+ロnOD (2) OP%3D口mOC+nOB

法線ベクトルのベクトルＮ=（a,b）の（）の中は何を表しているのですか？座標ですか？

解1の4行目までは分かるのですが、5行目の｢平面‪α‬は点Aを通るから｣とあります。この平面は点Bも通るはずですが、点A出なきゃダメな理由を教えて欲しいです。 あと解2のベクトルOP=…の式の意味を教えて欲しいです

25 解 20x+15y+12z%3D60 (解説) (解1) 平面αの法線ベクトルをn==(a, b, c) とすると, カIAB, iIAC よって, n.AB=0, n.AC=0 AB=(-3, 4, 0)., AC=(-3, 0, 5) から -3a+4b=0, -3a+5c=0 b=, c=aから 3 3ー4, c= 3 3 a:b:c=a : 3 -a= 20:15: 12 49: よって n=(20, 15, 12) としてよい。平面 αは点Aを通るから 20(xー3)+ 15y+12z=0 よって 20x+15y+122 %=D60 (解 2) 平面a上の点をP(x, y, 2) とすると OP=OA+sAB+tAC 成分で表すと (x, y, 2)=(3, 0, 0)+s(-3, 4, 0) ++(-3, 0, 5) よって x=3- 3s-3f ., y=4s の, O から s, #を求め①に代入して 20x+15y+12z= 60 の,2=5t 26|

ベクトル方程式は3つ種類があると思うのですが、どうやって使い分けたらいいのか分かりません。

432 5 ベクトル方程式 基本事項 I 直線のベクトル方程式 直線上の任意の点Pの位置ベクトルをあとし, s ともを実数の変数とする。 0 定点 A(a)を通り, ōでないベクトルさに平行な直線 àは直線の方向ベクトル あ=a+td 2 異なる2点A(ā), B(6) を通る直線 カ=(1-t)a+t5 または カ=sa+tō, s+t=1 3 定点A(a)を通り, ōでないベクトル元に垂直な直線 n-(6-a)=0 nは直線の法線ベクトル つ心 解説 曲線上の点の位置ベクトル方の満たす関係式を, その曲線の ベクトル方程式 という。 <直線のベクトル方程式> ① 右の図において の P tà (AF/OD または AP=0) → AF=tOD →OF-OA=tOD→カーa=tā から,この直線のベクトル方程式は このとき,dを直線④の 方向ベクトル, tを媒介変数 と いう。 A あ=a+td A a ィD 0d 更に,原点を 0, 点 A(x1, y), 直線A上の任意の点を P(x, y) とし, ā3(1, m) とすると のから (x, y)=(x1, y)+t(7, m)=(xi+tl, yi+tm) [x=x+tl B すなわち B ly=yュ+tm d(D-9)? A 連立方程式Bを, この直線の 媒介変数表示 という。 2 0でd=AB の場合を考えて,直線 ABのベクトル方程式 は,AB=5-āから カ=a+t(5-2) a すなわち b=(1-t)a+t6 治 00 ③ 右の図において (AF」7 または AP30) →元AF%=0 から,この直線のベクトル方程式は このとき, nを直線 © の法線ベクトル という。 更に, A(xi, 4), P(x, y), n=(a, b) とすると カーa=(x-X, yーy)であるから, ©は a(x-x)+6(y-)3D0 C=-ax」-byiとすると よって, 直線 ax+by+c=0 はベクトルn=(a, b)を法線ベクトルにもつ。 n-(6-d)=0 P A a ax+by+c=0 C0 S°DA

なぜ5分の1になるのでしょうか。

96-2章 ベクトル 問14 直線 3x-4y+5=0 の法線ベクトルで, 大きさが1であるものを求めよ。 え方 直線 ax+by+c=0 の法線ベクトルの1つは, n=(a, b) である。れと ロ P.79 じ向き,反対の向きの単位ベクトルはそれぞれ |21 n n である。 解答直線 3xー4y+5=0 の法線ベクトルの1つをnとすると n=(3, -4) =3+(-4)ー5 したがって n nと同じ向きの単位ベクトルは 12 3, -4 n nと反対向きの単位ベクトルは 3, 5 -4 ニ | 2

ベクトルに関する質問です。法線ベクトルを求めるとき、解説を見ると実数倍（1/l倍）してn=(3,4-a,2(1-a))を求めています。ここでlで割ってるわけなのでl≠0という条件が必要になると思いますが、0じゃないということはどうやって確信できるんですか。

この平面」 4点A(0, 0, 2), B(2, -2, 3), C(a, -1, 4), D(1, a, 1) が同じ平面上にあ 3 るように,定数aの値を定めよ。 (弘前大) 346 数学B 別解 2. まず, 3点A, B, Cを通る平面の方程式を求める。 平面 ABC の法線ベクトルをn=(1, m, n) とすると, 元1AB, 元」ACょり, 元·AB=0,n.AC=0 であるから 21-2m+n=0, al-m+2n=0 そ本冊p.460演習例題75 CK:KIL AK:KM OK=( 参照。 平面 ABCの方程 式を lx+my+nz+p=D0 とすると、3点A, B, C を通ることから 2n+p=0, 21-2m+3n+p=0, al-m+4n+p=0 検討 2 4-a1. n= 3(1-a) よって,n=(3, 4-a, 2(1-a)) とする。平面 ABC 上の点を P(x, y, 2) とすると, n·AF=0 であるから 3x+(4-a)y+2(1-a)(z-2)=0 これらから m= 3 よって m= ゆえに,平面 ABCの方程式は 10-1) カ=(a-1) 3x+(4-a)y+2(1-a)z=4(1-a) (*) n= この平面上に点Dがあるための条件は 3×1+(4-a)a+2(1-a)×134(1-a) 整理すると これらから左の(*)を導 くこともできる。 a-6a-1=0 よって a=3±(10 裸習 平行六面体 ABCD-EFGHにおいて, 辺 BF を2:1に内分する点をP, 辺FGを2:1に内分 I DH の中点をRとする。4点A, P. Q. Rは同一平面上にあることを示せ。 ナ2占た0

(1)(2)どちらも分かりません。解説お願いします。

318 436 基本例題35/垂線の長さ(法線ベクトル利用) OOO00 点A(4, 5)から直線0:x+2y-6=0に垂線を引き,lとの交点をHとする。 (1) 点Hの座標を, ベクトルを用いて求めよ。 (2) 線分 AH の長さを求めよ。 基本4

なぜ法線ベクトルはこのようになるのですか？

ベクトル方程式を考える上で、 赤線のように考える理由 を教えてください あと、ここで言うc は何なのか教えてください

ベクトル方逢式 較諾汰項 =をよミ 3 せめ折半 田 直線のペクトル方程式 M 直線上の任意の点 P の位置ペタトルをあとし, と7 を実数の変数とする。 ① 定点 AG) を通り. 0 でないベクトル9 に平行な直線 ヵーg+/ば は直線の方向ベクトル 異なる2 点 AZ), B(5) を通る直線 ヵ ーりg+ゆ または ヵー ニsg十5。 き十#三1 ⑧ 定点 A(@) を通り、0 でないベクトル に垂直な直線 な(あー@)三0 7は直線の法線ベクトル ⑧@ 厩 閲 の 曲線上の点の位置ペク 前 ヵ の消たす関係式を, その昌綿の ベクトル方程式 とい- で直線のベクトル方程式> ① 右の 図に: に から。この直株のペクトル方は このとき, を直線 ⑯ の 方向さクトル, を 媒介変数 と いう。 更に, 原点を0, 点 A(x,)。 直線上の任意の点を P(。 y) とし, 9ニ(/。) とすると ぐ⑳から (x,。の)=ニ(6, wm)す7が)三(mn十訟、十のり ュキが ye 連立方程式 を, この直線の 媒介変数表示 という。 ① で= の場合を考えて, 直線 AB のペクトル方程式 から, この直線のペク トル方程式は このとき, を直線 ⑥ の 法線ペクトル という。 更に, Am, )。 Py。め, 芳三(4。 の とすると ーの=(メーッーカ) であるから,〇は g(*ーx)二が(ゅー)=0 ー5w とすると ox+6y+c=0 つて 計線な+めTc=0 はペクトル=(。、5) を決ベクトルにもつ。

ここでマイナス５分の1の分も考えなくてはならないのは何故ですか？