題 22 x=t2, y=2t-t2 (0≦t≦2) で表される曲線とx軸で囲まれた部分
の面積Sを求めよ。
it 媒介変数を消去して y=F(x) の形に表すこともできるが, 計算は面倒になる。そ
こで x=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める。
答
x = t2 より dx =2tdt
xtの対応は右のようになる。
x 0
4
0≦t≦2 のとき, y≧0 であ
t 0 → 2
るから
s=Sydx=(2t-12)・2tdt
=S(41-213)dt
=1-1=
8
例題の曲線の概形は次のようにしてかくことができる。
1
0
4
dx
=2t,
dt
dy
dt
-=2-2t
0<t<2 のとき, x>0であるから,xtに対して単調に増加する。
dt
tとxの対応は右のようになる。
dy_2-2t_1-t
t 0 → 2
x
0
→ 4
また
=
dx
2t
t
dy
よって,
-= 0 とすると t=1
t
dx
このとき
x=1
x
0-0
::
1
2
...
1
4
したがって, yのtについての増減表は右のよう
dy
+
0
-
dx
になる。
d'y
また
=
dx2
dx
dt t
2t
23
したがって, 0<t<2 のとき
d'y
<0
dx2
d(dy). dt
- d (174) · 2/1=-24³
y
0
1
0
ゆえに,曲線は上に凸であり、概形は上の図のようになる。
06 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
*(1) x=1-t*,y=t-t (0≦t≦1)
(2) x=t+sint, y=1-cost (0≦t≦2)
x= acos³0
yasinia
じ
