例題 112 接線に関する軌跡
ド放物線 y=x?上の異なる2点 P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれi,
laとし,その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき,
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1★★★
点Rの軌跡を求めよ。
[類名城大)
一例題108
指針 , leの方程式から交点Rの座標 (x, y)を求めると, x とyはともにp, qの式で表される。
しかし、
つなぎの文字 p, qを消去する
したがって,方針は
3章
2直線が垂直 → (傾きの積)=-1
そこで用いるのは
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答案 x 軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m
とすると,その方程式は
ソーが=m(x-p) すなわち y=m(x-p)+が
これと y=x° を連立して
整理すると
この2次方程式が重解をもつから, 判別式をDとすると
D=(-m)-4(mp-が)=m°-4mp+4が=(m-2か)?
P(b, が)
Q(q, g°)
x=m(x-p)+が
li
0
l2
x-mx+mpーが=0
x
R
(m-2p)?=0
よって
0 1(
D=0 から
m=2p
したがって,liの方程式は
y=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が
の
同様にして,2の方程式は
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。
yを消去して整理すると
ソ=2qx-q°
AOでかをqに
おき換える。
2(p-q)x=(p+q)(カーq)
参考 左の答案は
今までに学習した
文 知識のみを用いて
ソ=2か2-が3D加つ大され 接線の方程式を求
関 めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章徴
③ の解である。|分法を参照)。
カキq であるから
と=Dt
これを①に代入して
2か2q=-1
1
ille から
強く
3
よって
y=D pq=ー-
4
また,か, q は2次方程式 -2xt-
3の判別式を D'とすると
1
4
D'
よって
D'>0
4
逆の確認。
-ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキq)が存在する。
したがって,求める軌跡は
1
直線 y=-
4
軌 跡と方程式
