例題 112 接線に関する軌跡
ド放物線 y=x?上の異なる2点 P(p, が), Q(q, q') における接線をそれぞれi,
laとし,その交点をRとする。liと leが直交するように2点P, Qが動くとき,
185
1★★★
点Rの軌跡を求めよ。
[類名城大)
一例題108
指針 , leの方程式から交点Rの座標 (x, y)を求めると, x とyはともにp, qの式で表される。
しかし、
つなぎの文字 p, qを消去する
したがって,方針は
3章
2直線が垂直 → (傾きの積)=-1
そこで用いるのは
18
答案 x 軸に垂直な接線は考えられないから,liの傾きを m
とすると,その方程式は
ソーが=m(x-p) すなわち y=m(x-p)+が
これと y=x° を連立して
整理すると
この2次方程式が重解をもつから, 判別式をDとすると
D=(-m)-4(mp-が)=m°-4mp+4が=(m-2か)?
P(b, が)
Q(q, g°)
x=m(x-p)+が
li
0
l2
x-mx+mpーが=0
x
R
(m-2p)?=0
よって
0 1(
D=0 から
m=2p
したがって,liの方程式は
y=2p(x-p)+がすなわち y=2px-が
の
同様にして,2の方程式は
交点Rの座標(x, y) は, 連立方程式①, ② の解である。
yを消去して整理すると
ソ=2qx-q°
AOでかをqに
おき換える。
2(p-q)x=(p+q)(カーq)
参考 左の答案は
今までに学習した
文 知識のみを用いて
ソ=2か2-が3D加つ大され 接線の方程式を求
関 めているが,後で
学習する微分法を
用いると,より簡
単に求めることが
できる(第6章徴
③ の解である。|分法を参照)。
カキq であるから
と=Dt
これを①に代入して
2か2q=-1
1
ille から
強く
3
よって
y=D pq=ー-
4
また,か, q は2次方程式 -2xt-
3の判別式を D'とすると
1
4
D'
よって
D'>0
4
逆の確認。
-ゆえに, 任意のxに対して実数か, q(カキq)が存在する。
したがって,求める軌跡は
1
直線 y=-
4
軌 跡と方程式
問題文でPとQの座標が示されている時点で存在することはいえてるのではないのでしょうか？