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重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大最小
f(x)=x-6x+9xとする。 区間 a≦x≦a+1 におけるf(x)の最大値(α) を求
基本213
めよ。
指針 | まず, y=f(x)のグラフをかく。 次に、幅1の区間αsxsu+1をx軸上で左側から移動
しながら、f(x) の最大値を考える。 ......... []
なお、区間内でグラフが右上がりなら M (a) = f(a+1), 右下がりなら M (a)=f(a)
また、区間内に極大値を与える点を含めば, M(α) = (極大値) となる。
更に,区間内に極小値を与える点を含むときは,f(x)=f(x+1) となるとαの大小に
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大最小 極値と端の値をチェック
解答
f'(x)=3x2-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると
x=1,3
増減表から, y=f(x)のグラフは
図のようになる。
[1] α+1<1 すなわち a <0のとき
M(a)=f(a+1)
=(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1)
=a³-3a²+4
[] [2] a<1≦a + 1 すなわち
0≦a <1のとき
a=
[3] 1≦a<
__(-9)±√(-9)-4・3・4
2.3
x
1
f'(x) + 0
f(x)
9+√33
[4]
6
以上から a < 0,
よって
2 <α <3 であるから, 533 <6に注意して
9+√33
6
αのとき
1≤a<
...
9+√33
6
0≦a <1のとき M (α)=4;
9+√33
6
y
f(r) = r32.2.
|極大|
4
M(α)=f(1)=4
次に, '2 <a <3のとき (α)=f(α+1) とすると
a³-6a²+9α=a³-3a²+4 ゆえに 3²-9a+4=0
a01
la+1
[2] [3]
9±√33
6
極小|
0
a=
3
0 +
y=f(x)
[4]
1
のとき M(α)=f(a) = α-6a²+9a
M(a)=f(a+1)=α-3a²+4
α3α+1 x
9+√33
6
Sαのとき M (α)=a-3a²+4;
...
のとき M (a) =α-6a²+9a
[1] 区間の右端で最大
a O
4F・
a+1
[2] ( 極大値) (最大値)
yA
O alt
O 1
･最大
最大
a+1
[3] 区間の左端で最大
ya
1
最大 1.
3
a
a
a+1
[4] 区間の右端で最大
a 31
13
x
a+1
X
x
[最大
a+1
a+1
