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262 第4章 微分法の応用
Think
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例題122 極値をもたない条件
大
kは正の定数とする. 関数 f(x)=xlogxkx2 が極値をもたないとき
注〉 logx +1-2kx=0 より
log x +1=2kx...①
とおく.
定数kの値の範囲を求めよ.
[考え方 関数 y=f(x) が極値をもたない (単調増加 (減少))ことを調べるには、次のことを考
えるとよい .
f(a) =0を満たす
または
・f(a)=0を満たす
ラフの動画の著
3 いろいろな応用
g(x)=logx+1 とおき, y=g(x) と y=2kx (k>0) のグラフで考え.
例題122の考え方の2つの観点を次のように考えることもできる
f'(x)=logx+1-2kx=0 となるxの値(x>0) が.
存在しないかただ1つ存在する
場合を考える.
が存在するが、x=aの前後の符号は正(負)
が存在せず、つねに f'(x)>0 (f'(x) <0)
このことより、f'(x)の符号を調べなければいけないが,f(x)では調べにくい場合が
ある.このようなときは, f'(x) の符号を調べて、f'(x) の増減を調べる。
wwwwwww
g(x)=1/1
~
であるから, 曲線 y=g(x) 上の点(a loga+1) に
y
解答
定義域は, x>0
y=2kx
真数条件
y=x
f'(x)=logx+1-2kx
<おける接線の方程式は,
f(x) が極値をもたないのは, x>0でf'(x) の符号に変
化がないときであるから, f'(x) の符号より,f'(x)の増
減を調べる.
このままではf'(x)
の符号が調べにくい。
Jy (loga +1)=-
1)=1/(x-
(x-a)
y=g(x
f'(x)の定義域は, x>0
f(x)=1-2k
X
すなわち, y=-x+loga
この直線が原点 (0.0)を通るとき
loga=0
a=1
1
f" (x) =0 とすると,
x=
2k
したがって,このときの直線は,
y=x
したがって、f'(x)の増減表は次のようになる.
X 0 ...
12
①が,x>0で解をもたないか、ただ1つの解だけを
もつための条件は,
2k
傾きが1以上のとき
題意を満たす.
2k≥1
f" (x)
+ 0
\f'(x)
f'(x) の増減を調べ
るので,
よって、1
2k
f'(x) f(x)となる。
121
f(x)が極値をもたない.
れば、つねに f(x) ≧0となり、
ここで、imf(x)=-∞であるから、(1)SOであ
このように、関数のグラフなどを用いると、 考えやすい場合もある。
\2k
(D
したがって,
f(12/16) = 10g // +1-2k.
10
1
f' (a)=0を満たす
つねにf (a) 20より、
2k
1
2k
-log2k
x=が存在するが
-log 2k≤0
log2k≥0
2k≥1
x = の前後の符号は
負である.
0=log1
