二次関数、最大値最小値の場合分けがわからないです。座標だけはわかるのですが、どんなときに最大値で最小値かわかりません。

88 文字係数の2次関数の最大・最小 基本例題 56 aは定数とする。 関数 y=x2-2ax+α (0≦x≦2) の最大値、最小値を、 の各場合について, それぞれ求めよ。 (1) a≦0 (2) 0<a<1 (3) a=1 CHART OLUTION 解答 係数に文字を含む2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け まず,基本形にすると y=(x-a)²-a²+a このグラフの軸は直線 x=α で, 文字αを含んでいるから,αの値によって, 軸(グラフ)の位置が変わる。そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき 軸がどの位置にあるか確認する。 その際, 頂点と端点に注目する。 200 y=x2-2ax+a=(x-a)²-a²+a この関数のグラフは下に凸の放物線で、頂点は点 (a,d²+a), 軸は直線x=α である。 また (1) a≦0 のとき x=0のときy=a, x=2のときy=4-3a (1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは、図のようになるから x=2で最大値4-3α x=0で最小値 α (2) 0<a<1のとき x=2で最大値 4-3a x=αで最小値-α²+α (3) α=1のとき x=0, 2 で最大値1 x=1 で最小値0 (4) 1<a<2のとき x=0 で最大値 α x=αで最小値-a²+α (5) α≧2 のとき x=0 で最大値 α x=2で最小値4-3α (1) 1p.84 基本事項 ②. 基本 54 (2) ¦ ye 4-3a a -a² + a O 4-3a a (4) 1<a<2 |y₁ a0 -Ta 1 2 2x (5) a≥2 7 x 基本形に直す。 定義域の中央はx=1 軸の位置は、それぞれ (1) 定義域の左外 (2) 定義域内の左寄り (3) 定義域内の中央 (4) 定義域内の右寄り (5) 定義域の右外

(1)ですが、場合分けの(ア)が0＜a＜2ではなく0＜a≦2なのは何故でしょうか。 a＝2のときは最小値が1になるので、(イ)の方に含んだ方がいいのではないかと思うのですが。

例題 73 a>0とする。 2次関数f(x)=x-4x+50≦x≦ a)について (1) f(x) の最小値とそのときのxの値を求めよ。 (2) f(x) の最大値とそのときのxの値を求めよ。 思考のプロセス グラフ固定区間移動の2次関数の最大・最小〔1〕 << Re Action 2次関数の最大・最小は,軸と区間の位置関係を考えよ 例題69 場合に分ける 区間 0 ≦x≦α に文字が含まれる。 aの値が大きくなるほど, 区間の右側が広がっていくことから, 場合分けの境界を考える。 軸が区間外 軸から近い端点で最小 (1) 最小値 →軸が区間内 頂点で最小 α > 0 であるから, 例題 72のように, 軸が区間より左に なることはない。 (2) 最大値 軸から遠い方の端点が x = 0 軸から遠い方の端点が x = a DI 甲田 a 右側へ広げていく 放物線の対称性を利用する。

例題73 解説で、矢印の行の意味がわからないので教えていただきたいです！

x=2y+1 去するか ET 例 73 2変数関数の最大最小 を実数とするとき、x-4.xy+y²-4y+3 の最小値を求め、そのときの の値を求めよ。 基本 59 SHART & SOLUTION 題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから、この例題のxとyは互 に関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず、まず、yを定数と考えて、 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 α(xp)+αに変形する。 2次式)も そして、更に残った定数項( 基本形 b(y-r)+s に変形する。 ここで、 次の関係を利用する。 実数X, Yについて X 20 Y 20 であるから､ aX2+by+h (α> 0, b>0は定数) は X=Y=0 で最小値 をとる｡ x2-4xy+7y²-4y+3 ={(x-2y)-(2y)^}+7y²-4y+3 =(x-2y)2+3y²-4y+3 =(x-2y)+3y-)-(号)}+3 =(x-2y)² +3(x-3)² + x, y は実数であるから (x-2y)² ≥0, (y-2) 20 したがって, x-2y=0, y- = 0 すなわち x=1/13. y=1/23 で最小値をとる。 (実数) 20 yを定数と考え、xにつ いて平方完成。 xを定数と考えて 平方完成すると次のように なるが､ 結果は同じ。 7y³-4(x+1)y+x²+3 2x =7{y_²(x+1)}² 4(x+1)^ - 4(x + 1)²+x²+3 7 -12 (7y-2(x+1))2 POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k a,b,c,d,e, kを定数として a(x+cy+d)²+b(y+e)²+k (a>0, b>0) と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値kをとる。 PRACTICE 73° x,yを実数とする。 6x2+6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を [類 北星学園大 ] 求めよ。 00 2次関数の最大・最小と決定

72、73ともに解説を見ても、よく理解できませんでした…💦 どなたか解説をお願いします！

124 重要例題 72 条件つきの最大・最小 (1) x≧0, y≦0,x-2y=3 のとき, x2+y2 の最大値および最小値を求めよ。 ③ 基本60 重要 104 HART [SOLUTION 条件の式 文字を減らす方針でいく 変域にも注意 一見, 2変数x,yの最小問題であるが,条件の式を変形すると x=2y+3 これを x2+y2に代入すると x2+y²=(2y+3)2+y2 となる。 これはyの2次式であるから, 基本形に変形すると最大値と最小値を求められる。 ここで, 消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 (y) の条件におき換えておくように。 解答 x-2y=3から x=2y+3 ..・・・・ ① x≧0であるから 2y+320 y≤0 との共通範囲は -sy≤0 ...... 2 ① また x2+y²=(2y+3)2+y2 =5y²+12y+9 ② において, ③は =6{(x+1)-(1/4)}+9 = 5(y + 5)² + ³/ y=0 で最大値 9. 6 9 y=-1 で最小値号/ 5 をとる。 ① から y=0 のとき y= のとき したがって, x=3, y = 0) x=¾/²³. よって y2-2 y= 6 5 (3) x=3 x=2(一号) +3=1号/ で最大値 9, 9 で最小値 x2+yin 最大19 最小 をとる。 0 y <消去する文字の条件 (x≧0) を 残す文字 条件 (-2)におき 換えておく。 ① x を消去する。 消去する文字は係数が 1-1のものを選ぶ とよい。 基本形に変形。 infy を消去する場合は x = -1/(x- から x² + y² = x² + (x-3) ² (x-3) (0≤x≤3) となる。 inf. 設問で要求されてい なくても、最大値・最小値 を与えるx,yの値は示し ておくようにしよう。 PRACTICE 72⁰ (1) x+2y=3 のとき, x2+2y2 の最小値を求めよ。 (2) 2x+y=10 (1≦x≦5) のとき, xy の最大値および最小値を求めよ。 〔(2) 常葉学園大] 重要 例題 73 2変数関数の最大・最小 x,yを実数とするとき, x2-4xy+7y²-4y+3 の最小値を求め, そのときの x, yの値を求めよ。 基本 59 CHART & SOLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから,この例題のxとyは互 いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず,まず,yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)^+α に変形する。 そして, 更に残った定数項」(yの2次式) も 基本形 b(y-r)'+s に変形する。 ここで、 次の関係を利用する。 実数X, Yについて X'≧0, Y'≧0であるから, 解答 aX+by^+k (a>0, b>0, kは定数)は X = Y = 0 で最小値々をとる。 x 2-4xy+7y"-4y+3 ={(x-2y)-(2y)"}+7y²-4y+3 =(x-2y)'+3y²4y+3 =(x-2y)*+3((号)-(金)+3 =(x-2y)² + 3(y - 3)² +5 x, y は実数であるから (x-2y)¹20, (y-20 したがって, x-2y=0, y- = 0 すなわち x=1/43, y=1/23 で最小値01/23 をとる。 (実数) ≧0 a(x+ey+d)+b(y+e)2+k yを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf x を定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、 結果は同じ。 7y²-4(x+1)y+x+3 =7{y_2(x+1) 1² - 4(x+¹)²+x²+3 =1/(7y-2(x+1)}2 POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k a,b,c,d,e, k を定数として (a>0, b>0) と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値をとる。 P RACTICE 73° x,yを実数とする。 6x2 +6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を 求めよ。 [類 北星学園大 ] 125 3章 8 2次関数の最大・最小と決定

解説を見ても、よくわかりませんでした…💦💦 どなたか解説をお願いします！！

112 基本例題 63 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x²-4x+5 について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0≦x≦a である から, 文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて, x の変域が広がっていく。 x-0 x-a したがって, αの値によって, 最大値と最小値をとるxの 値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほどyの値は大 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 よって, 定義域 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一 致する) ようなα の値が場合分けの境目となる。 [1] 軸が定義域の 中央より右 解答 最大 定義域 の中央 [2] 軸が定義域の 中央に一致 [4] 軸が定義域 の外 最大 軸 区間の 右端が 動く 最小 x-0 端から軸ま での距離が 等しいとき 最大 定義域 の中央 ⓒp. 107 基本事項 2. 基本60 €4 [3] 軸が定義域の 定義域の両 [5] 軸が定義域 の内 エー (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸が定義域 0≦x≦αに含まれてい れば頂点で最小となる。 よって, 軸が定義域 0≦x≦αに含まれるか含まれないかで場合 分けをする。 ED 区間の 右端が 動く 最小 x0 中央より左 f(x)=x-4x+5=(x-2)+1 この関数のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2である。 最大 定義域 の中央 x-a |←基本形に変形。 B (1) 定義域 0≦x≦a の中央の値は [1] << 2 すなわち0<a<4 のとき 図 [1] から, x=0 で最大となる。 最大値は f(0)=5 [2] 1/2 =2 すなわちa=4 のとき 図 [2] から,x=0, 4 で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [3] 2</1/17 すなわち 4<a のとき 図 [3] から, x=αで最大となる。 最大値は f(a)=a²-4a+5 [5] 2≦a のとき 図 [5] から, x=2で最小となる。 最小値は f(2)=1 [4], [5] から である。 [1] 0<a<2のとき x=αで最小値 α²-4α+5 a≧2 のとき x=2で最小値 1 最大 x-0 T [2] 最大 x = 0 [3] [1]~[3] から 0<a<4 のとき x=0 で最大値5 x=0| a=4 のとき x=0, 4 で最大値5 a>4 のとき x=α で最大値α²-4α+5 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。 [4] 0<a<2のとき [4] [軸 図 [4] から, x=αで最小となる。 最小値は f(a)=a²-4a+5 [5] x=x=2 軸 x=a x=0 x=0 ● 最大 x=4 最大 x=a 最小 -x=a x=2 最小 =2x=a [1] 軸が定義域の中央 より右にあるか 2 ら, x=0 の方が軸より 遠い｡ よって / (0) f(a) [2]軸が定義域の中央 x=1/23 に一致するから, 軸と x=0, α(-4) との 距離が等しい。 よって f(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので, その2つ の値を答える。 [3]軸が定義域の中央 x=1/23 より左にあるか X ら, x=a の方が軸より 遠い｡ よって / (0) <f(a) 答えを最後にまとめて 書く。 [4]軸が定義域の右外にあ るから, 軸に近い定義域 の右端で最小となる。 | [5]軸が定義域内にあるか ら頂点で最小となる。 答えを最後にまとめて 書く。 P RACTICE 63 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=-x+6x について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 113 3章 2次関数の最大・最小と決定

2次関数の最大・最小の問題です。 詳しく教えてください🙇‍♀️

2 定義域がα≦x≦a+1の2次関数y=x2+3x+1がある。aの値が次の ようになるとき, この関数の最小値をそれぞれ求めよ。 5 1) a< - 12/21 (2) -- <a<-2 3|2 (3) a> ---2/20 (1) (2) (3)

解答を見ても(１)から全く分かりません (１)だけわかりやすく解説してほしいです なんで最小値がx=aのときなんですか？

0 指針 定義域が 0≦x≦a であるから, αの値の増加とともに定義域の右端が動き, 図のように, xの変域が広がっていく。 まず, 各場合のグラフをかき, 頂点と区間の両端の値を比較 して, 最大・最小を判断する。 (1) 軸 (2) 軸 14 2次関数の最大・最小 (3) 基本例題 78 2 は正の定数とする。 定義域が 0≦x≦a である関数 y=x2-4x+1の最大値およ び最小値を、次の各場合について求めよ。 (2) 2≦a<4 (1) 0<a<2 解答 関数の式を変形すると [1] (2) 2≦α<4のとき 0 a²-4a+1 (3) α=4のとき (4) 4 <αのとき 1 a y=(x−2)²—3 ™E=(0) MAJ 0= 関数 y=x2-4x+1のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2,頂点は点 (2,-3)である。 (1) 0<a<2のとき x=0で最大値1, x=2で最小値-3 1 最大 グラフは図[1] のようになる。 x=0で最大値1, x=αで最小値α²-4a+1 グラフは図[2] のようになる。 |軸 グラフは図[3] のようになる。 x=0, 4で最大値1, x=2で最小値-3 a 2 O 1 最小 a グラフは図[4] のようになる。 x =αで最大値α²-4a+1, x=2で最小値-3 [2] ha May 軸 0 a²-4a+1 -3 (3) [最大] 2 ar (3)a=4 14 x 17 チキ F | 最小 軸 [3] [ [2] 1 a 0 最大 -3-- (4) x0 12 (4) 4 <a Ay 最小 キ 最大 14 x a x (検討 例題78では,α = 2,4が場合分けの 境目であるが (1) 0<a<2のとき, 軸は区間の右 外。 2<αのとき, 軸は区間内にあり (2) 2 <a<4のとき, 軸は区間の中 央より右にあるので, x=0の方 が軸から遠い。 |a=2のときは, 軸は区間の右端) x=2) に重なる。 (3)a=4のとき, 軸は区間の中央 に一致するから, 軸とx=0, a と の距離が等しい。 基本77 (4) 4 <a のとき,軸は区間の中央 より左にあるから, x=a の方が 軸から遠い ■頂点 ●区間の端 [4] y |軸 -3 129 1 0 近 2-40+1 最大 12 14ax G30 最小 3章 10

これわかる方いますか！？ 是非教えていただきたいです🙏🏻🙏🏻

2 32 15 14 2次関数の最大 最小 (2) 問題35 (1) aを定数とする。 関数 y=-x²+4x+1のa≦x≦a+2における最小値を求めよ。 (2) aを定数とするとき, 2次関数y=x2+2ax+3の0≦x≦2における最小値を求めよ。 FOR SE

1枚目の(1)と(4)と2枚目の(3)の平方完成の解き方を教えて欲しいです。

高校数学 数学ⅠA 基礎/ 2次関数の最大・最小 ① 【確かめよう】 次の関数の最大値、最小値を求めよ。ただし, ない場合は「なし」 と書くこと。 最大値 ① y=1/1/2x+x+2 (1))y= (2) y=-x2+4x-5 (3) y=3x2+x-1 (4)) y= 3 2 x2-2x+3 最小値 N/W

最小値−6の時のxの値の求め方がわからないので教えてください🙇🏻

まずれについて平方完成し、その後yについて平方完成する。 oc2-4xy+5g-4x+10g-1 =x^2-(4g+4)x+5x+100-1 x-(24+2)-(y+2)² +5% +100-1 2 min = √x - (29+2) } ²³ +9² + 2y = 15 { x = (29-12 3 7 ² + (y + 1)² = 6 yの固定を外す minの中の最小値 これより、x-2y2=日かつ質土1=0のとき、 最小値-6を取る。 このとき、xc=0、Y=-1 以上より、最小値-6(x=0,4=-1のとき)