この問題の(1)についてなのですが、x,yが負の場合については考えなくていいのでしょうか?

EX ②48 ( 基本例題 65 逆関数の微分法,x (p は有理数)の導関数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 0000 (2) y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g'(0) を求めよ。 (3)次の関数を微分せよ。 (ア) y=2x3 (イ) y=√x2+3 p.110 基本事項 指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式 dy 1 = dx dx を利用して計算する。 dy ②49 (1) y=xの逆関数は x=y(すなわち y=x1) xをyの関数とみてyで微分し、最後にy を xの関数で表す。 (2)y=g(x)として (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。 →x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 30 (3)が有理数のとき (x")'=pxcb-1 (1) y=x3の逆関数は, x=y3 を満たす。 解答 dx よって =3v2 dy を利用。 50 別解 (1) y=xの逆関 は y=xで ゆえに、x=0のとき dy 1 dx = dx dy = 1 3y2 = 1 3(1³) 3 || 1 13 = || 2 3x3 : 23 1 = dy dx=(x3): 35

赤線で囲った部分の計算の仕方が分かりません！誰か教えてください🙇‍♀️

Ra を数学的帰納 が成り立つ。 一べての自然 は ドミノ倒 る。 割れる。 れたとき, が倒れる。 ミノが倒れ 基本 BANN 55 等式の証明 ......- が自然数のとき,数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 ·+n•n!=(n+1)!−1 解答 指針 1・1!+2・2!+ 00000 499 数学的帰納法による証明は,前ページの例のように次の手順で示す。 [1] n=1のときを証明。 [2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで, +1のときも成り立つことを証明。 [1] [2] からすべての自然数nで成り立つ。 出発点 [類 早稲田大] p.498 基本事項 まとめ [2]においては, n=kのとき①が成り立つと仮定した等式を使って, ① の n=k+1 このときの左辺1・1!+2・2! +・・・・..+kk!+(k+1) ・(k+1)! が, 右辺{(k+1)+1}!-1に 等しくなることを示す。 また,結論を忘れずに書くこと。 とき [1] n=1のとき=31-9 通 (左辺)=1・1!=1, (右辺)=(1+1)!-1=1 よって,①は成り立つ。 ①が成り立つと仮定すると [2]n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 1・1! +2・2! + ••••••+kk!=(k+1)!−1 n=k+1のときを考えると、②から 1.1!+2.2!+...+k•k! +(k+1). (k+1)! 注意 は数学的帰納法 の決まり文句。 答案ではき ちんと書くようにしよう。 kは自然数(k≧1)。 1 ⑥数学的帰納法 <①でn=kとおいたもの。 n=k+1のときの ① の 左辺。 とき =(k+1)!-1+(k+1) ・(k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)! -1 えに=(k+2)(k+1)!-1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1n=k+1のときの①の よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [s [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。結論を書くこと。 8.0+(+81) トー +1 検討 数学的帰納法では,仕組み (流れ)をしっかりつかむようにしよう(指針の[1][2])。 なお,[1] で n=1の証明が終わったと考えて, [2] でn=kの仮定を k≧2 としてしまって は誤りである。 注意するようにしよう。 bon 24667 (El bom) of (81 bom) "E-EI="@+E+A 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 [島根大]

数Iの黄チャートの例題26の（2）なんですけど、①に代入しての後に書いてある、4√3/20のところで、なぜ4√3になるのかがわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 26 平方根と式の値 ( 2 ) √7-√3+√3 00000 (1) x=- y= 2 2 のとき,x+yの値を求めよ。 (2)x+y+z=0, xy+yz+zx=-10, xyz=4√3 のとき, x y え + + 1章 yz ZX xy 基本25 3 の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 対称式は基本対称式で表す x,y (2文字) の基本対称式 x,y,z (3文字)の基本対称式 ...... x+y,xy x+y+z, xy+yz+zx, xyz (1)x+y=(x+y) -3xy (x+y) を利用 (p.48 POINT 参照)。 (2)x2+y+z2=(x+y+z)-2(xy+yz+zx) を利用 (p.20 POINT 参照)。 解答 2√7 2 (1)x+y=- =√7,xy=- (√7)2-(√3)2_7-3 -=1 +xy 4 4 √7-37+√3 よって 2 2 x+y=(x+y)-3xy(x+y) =(√7)-3・1・√7=7√7-3√7 =4√7 別解x+y=(x+y)(x²-xy+y2) =(x+y){(x+y)2-3xy} =√7{(√7)2-3・1} =√7)-(√3) 22 3次式の因数分解。 p.24 基本事項 4 =4√7 (2) x y Z x2+y2+22 + + xyz ここで yz ZX xy ① 2 yz ZX xy x2 22 + + x2+y2+22=(x+y+z)2-2(xy+y+zx) =02-2・(-10)=20 xyz zxy xyz x y ①に代入して 5 2 20 20 + + yz ZX xy 4√3 = 5√√3 3 5.√3 4√3 √3√3 PRACTICE 26Ⓡ 3 (1) x=- √2+1 √2-1' y= 2-1 のとき,x+yの値を求めよ。 √2+1 (2)a=√3+√2 のとき, α+ a a³+ の値をそれぞれ求めよ。 (3)x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1, xyz=1 のとき, x y + + yz ZX 実数 この値を求めよ。 xy

例題43の（2）の問題で、｜a+b｜≦1,｜a-b｜≦3から　（a+b）²+（a-b）²≦1²,（a-b）²≦3²のところで、なぜ二乗をしなければいけないのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 43 対偶を利用した命題の証明 文字はすべて実数とする。 対偶を考えて,次の命題を証明せよ。 (1)x+y=2 ならば「x≦1 または y≦1」 (2)'+b2≧6 ならば「a+6|>1 または |a-b|>3」 CHART & SOLUTION 対偶の利用 nom 命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用 00000 p.76 基本事項 6 (1)x+y=2 を満たすx, y の組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ る。そこで,対偶が真であることを証明し,もとの命題も真である,と証明する。 条件 「x≦1 または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」 (2)対偶が真であることの証明には,次のことを利用するとよい。 解答 A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。) (1) 与えられた命題の対偶は 「x>1 かつ y>1」 ならば x+y=2 これを証明する。 x>1, y>1 から x+y>1+1 すなわち x+y>2 よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 (2)与えられた命題の対偶は 「la +6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6 ←pg の対偶は q⇒ p ←x>ay> b ならば x+y>a+b (p.54 不等式の性質) 2章 6 これを証明する。 |a+6|≦1, |a-b≦3から (a+b)2≦12, (a-b)2≦32 ←|A|=A2 よって (a+b)2+(a-b)≦1+9 ゆえに 2a2+62)≦10 よって a2+62≦5 ゆえに、対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 a+b25と5<6 から a2+62-6 POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。 かかつ または または かつ PNQ=PUQ PUQ=PnQ 論理と集合

チャート数Aの例題1の（ 1）なんですけど、A=｛1,3,5,6,7｝なのに、n（A）=5になるのですか？個数って聞かれてないのになぜ5になるのかわかりません。

基本例題 1 集合の要素の個数の計算 0000 (1) 全体集合を U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} とする。 Uの部分集合| A={1, 3, 5, 6, 7}, B ={2,3,6,7} について, n(A), n(B), (AUB), n (A) を求めよ。 (2)集合A,Bが全体集合 Uの部分集合でn(U)=50, n(A)=30, n(B)=15, n(A∩B)=10 であるとき,次の集合の要素の個数を求めよ。 (イ) A∩B (ア) A (ウ) AUB (C) (エ) ANB p.264 基本事項 1 265 1章 1 CHART & SOLUTION 集合の要素の個数の問題 図をかいて 1 順に求める ② 方程式を作る 集合の要素の個数, 場合の数 (2)①の方針により, 求めやすいものから順に,個数定理を用いて集合の要素の個数を求め る。 (ア)n(A)=n(U) -n (A) を利用する。 (ウ)n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B) を利用する。 ②は基本例題 3を参照。 解答 (1)n(A)=5,n(B)=4 AUB ={1, 2, 3, 5, 6, 7} である から n(AUB)=6 A={2, 4} であるから (2) (ア)n(A)=n(U)-n(A) =50-30=20 (個) 1 <36 金 左の図のような, 集合の B 関係を表す図をベン図 という。 2 7 n(A)=2 4 -U(50) A(30) B(15) ANB (10) (イ)n(A∩B)=n(U)-n(A∩B) 850-10=40 (個) (ウ)(AUB)=n(A)+n(B) -n (A∩B) =30+15-10=35 (個) (エ) n (A∩B)=n (AUB) =n(U) -n (AUB) 50-35=15(個) ← 補集合の要素の個数。 ←個数定理を利用。 ◆ド・モルガンの法則 A∩B=AUB (ウ)の結果を利用。

赤線引いたところ、cos²θ/2 を求めてルートを付けてるのかなって思うんですけど、 cosθ/2 の二乗は cos²θ/2 なんですか？？2は二乗されないんですか？🙇‍♂️

日本 例題 131 2倍角、半角,3倍角の公式 丸く曰くπで sing= 1 のとき, sin 20, cos- 00000 2' COS30の値を求めよ。 p.208 基本事項 3 CHART & SOLUTION 2倍角, 半角, 3倍角の公式 sino, coso, tan の値が基本 sin20=2sincos, cos20 1+cos 2 2 cos を求める必要がある。 -, cos30=-3cos0+4cos 0 であるから, まず また, 符号に注意。 <B<から cost<0 πC 8 → 4 <からcos/1/20 COS 解答 << 0πであるから cos <0 よって ゆえに sin20=2sin Acos0=2. 3 cos0=-vl-sin'=-1 √1-(1)² = 2√2 02 1+cos 0 2 1 2√2 3 4√√2 == 9 1-2√2-3-2√2 sin 0+ cos20= 2倍角の公式 次に COS2 半角の公式 2 6 π 0 πC 0 <<πより、 であるから COS >0 ← の範囲に注 4 2 2 よって COS 02 3-2√2 √3-2√2 = 6 √6 2-1 6 2√3-√6 6 また cos30=-3cos+4cos' --3-(-2√2)+4(-2√2)=-10√2 27 +√3-2√2 =√(√2-1)2 =√2-1 (2重根号を 3倍角の公式 忘れたら, 加 導く。 p.220 PRACTICE

2番の辺の範囲はどのようにして決まりますか？

本事項 錠、 を利用。 b 「基本例題 158 三角形の成立条件, 鈍角三角形となるための条件 AB=2, BC=x, CA=3である △ABC がある。 (1)xのとりうる値の範囲を求めよ。 △ABC が鈍角三角形であるとき,xの値の範囲を求めよ。 (1)三角形の成立条件|b-c| <a<b+c を利用する。 [類 関東学院大 ] p.248 基本事項 3. 4 重要 159 ここでは,|3-21 <x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。 (2)鈍角三角形において,最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が鈍 角となる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より、最大の辺を考える ことになる)。そこで, 最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。 例えばCA(=3) が最大辺とすると, ∠B が鈍角 cos B<0 ⇒ c²+a²-6² 2ca <0⇔c+α²-62<0 よくわか んない となり,b2c2+α が導かれる。 これに b=3,c=2, a=x を代入して, xの2次不 等式が得られる。 (1)三角形の成立条件から 3-2<x<3+2 よって 1 <x<5 (2)どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。 [1] 1<x<3のとき, 最大辺の長さは3であるから,そ の対角が 90° より大きいとき鈍角三角形になる。 32>22+x2 <|x-3|<2<x+3 または |2-x|<3<2+x を解い てxの値の範囲を求め てもよいが、面倒。 (1) から 1 <x [1] 最大辺が CA=3 A 4 章 18 sinBから sin Asina sinCから Sin B: sinc (*)となる として 解答 ゆえに すなわち x2-5<0 b=√3h よって (x+√5)(x-√5)<0) 2 (+)+) ② ゆえに -√5<x<√5 (+2) (1) 255B A>B> 最大の 係。 参照 3 x 1 <x<3との共通範囲は 1 <x<√5-1 B> 90°⇔ AC2 > AB2+BC2 [2] 3≦x<5のとき,最大辺の長さはxであるから, そ (1) から x<5 の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。 [2] 最大辺が BC=x ゆえに x2>22+32 すなわち x2-13>0 (1)(A (IS)(1-2 S)(F B 3 よって ゆえに (x+√13)(x-√13)>0 x<-√13,√13<x 3≦x<5との共通範囲は √13 <x<5 [1], [2] を合わせて 1 <x<√5, √/13 <x<5 x STA>90° BC2>AB²+AC² 参考鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目 し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。 大辺を変形し、 練習 AB=x, BC=x-3, CA = x +3である△ABCがある。 [類 久留米大 158(1)のとりうる値の範囲を求めよ。 1 の範囲を求めよ。 p.263 EX113/

(1)なのですが、2つの解がともに2以上ということは、重解は入らないのではないのでしょうか！！ この解答では判別式D≧0となっているので混乱してしまいました🥲 どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

xについての2次方程式 x2 (α-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよ な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 .76 基本事項 5 基本 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-kの符号から考える (1) 2以上とは2を含むから,等号が入ることに注意する。 a≧2,B≧2⇔ (a-2)+(β-2)≧0, (α-2) (B-2)0 (2) α <2<β または β<2<α⇔ (α-2)(β-2)<0 解答 「と」 x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6α-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (a-2)+(β-2)≧ 0 Linf. 2次関数 C f(x)=x2-(a-1)x+a このグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, f(2)≥0 a-1 2 ① (a-2)(B-2)≥O ****.. ③ ①から a2-6a-23≧0 I>n>E ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a ④ ②から a+β-4≧0 ゆえに (a-1)-4≥0 よって a≥5 ⑤ ③から aβ-2(a+β)+4 ≧ 0 見ない。 ゆえに(笑)α+6-2 (α-1)+4≧0(よってa≦12 ...(6) ④ ⑤ ⑥の共通範囲を求めて [1] [2] 3+4√2 ≦a≦12 (2) α<2<Bまたは<2<αであるための条 を満たす Ef(2) a (2) f(2)<0 (p.765 補足 参照 3-4/2 5 3+4/2 ④件は #1 (a-2)(B-2)<0 このとき,D> よってα+6-2(4-1)+4<0 これを解いて α>12 立っている。 (6.75

写真のような円のベクトル方程式の問題を解いたのですが、そもそもなぜこの問題文？から円のベクトル方程式を使うという考え方が出てくるのでしょうか？

基本 例題 41 円のベクトル方程式 00000 ①① 平面上の異なる2つの定点 0, A と任意の点Pに対し, 次のベクトル方程式 はどのような図形を表すか。 ( (1) 2OP-OA|=4 (2) OP.OP=OPO (C) eca p.344 基本事項 3. C 重要 44

マーカーのところでなにが起こっているんですか？？

証明せよ。 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (基本) n=1のときを証明 ① MOITUJO 420 基本事項 1 [2] n=kのときを仮定し, n=k+1 のときを証明 式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等しいと結論する。 または、左辺 (または右辺) を変形して, 右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1のとき (左辺)=1,(右辺)=1/12(3'-1)=1 目標 ゆえに,①は成り立つ。 のときり 013 ( [2] n=k のとき ① が成り立つと仮定すると 1+3+3²+.....+3*−1=-12 -(3-1) n=k+1 の場合を考えると ...... (*) ② ← ① に n=k を代入。 ②から1+3+3°+………+31+3=1/12(3-1)+3*) +1のときに ①の左辺のnをk+1 して、 ② を代入 2- 1 (3.3k-1) 1 = 11/12 2 辺に n=k+1 を代 た式。 as (3-1) 3-1) 2.00 [1], [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 よって, n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 INFORMATION 上の解答の中の (*) の部分 「n=k+1 の場合を考えると」 は, もっと短く 「n=k+ のとき」と書くこともある。 また, 省略せずに書くと,次のようになる。 「n=kの場合の式②を仮定して, n=k+1 の場合の式をこれから証明する。」