指針 定点 はA(-4, 0), B(2, 0)
| 2点A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。
基本 例題 107 アボロニウスの円
p.166 基本事項 [, 2
条件を満たす任意の点をP(x, y) とすると, 条件 は
-のままでは扱いにくいから, a>0, b>0のとき, a=b→α=Db の関係を用いて
AP:BP=2:1
AP:BP=2:1→ AP=2BP → AP"=D4BP
として扱う。これを x, yの式で表す と, 軌跡が得られる。
軌跡である図形Fが求められたら, 図形F上の任意の点Pは, 条件を満たすことを確認
する。
CHART
軌跡 軌跡上の動点 (x, y) の関係式を導く
解答
条件を満たす点をP(x, y) とすると
YA
P(x, y)
AP:BP=2:1
AP=2BP
A
B
-4 0
ゆえに
24
8x
AAP>0, BP>0であるから
平方しても同値。
すなわち
AP=4BP?
したがって
(x+4)+y=4{(x-2) +y°}
x2+y?-8x=0
(x-4)+y°=4°
よって,条件を満たす点は, 円①上にある。
逆に,円の上の任意の点は, 条件を満たす。
てたがって,求める軌跡は
x, yの式で表す。
整理して
x°-8x+4°+y=4°
すなわち
40の式を導くまでの式変
形は,同値変形。
中心が点(4, 0), 半径が4の円
注意「軌跡の方程式を求めよ」なら, 答えは①のままでよいが, 円 (x-4)+y°=4を答え
「軌跡を求めよ」なので, ④のように, 答えに図形の形を
としてもよい。
示す。
検討)アポロニウスの円
上の例題の軌跡の円は, 線分 AB を2:1に内分する点(0, 0), 外分する点 (8, 0) を直径の
端とする円である。
一般に、2定点 A. Bからの距離の比が m:n(m>0, n>0, mキn)である点の軌跡は、線
AB を m:n に内分する点と外分する点を直径の両端とする円 である。 この円を アポロニ
スの円 という。
なお, m=nのとき,軌跡は, 線分 ABの 垂直二等分線である。
士 と め上
また
距離の
