例題
8
aを定数とするとき, 方程式
で -3x?ーa=0
の異なる実数解はいくつあるか。aの値によって分類せよ。
考え方 方程式 f(x)=a の異なる実数解の個数は,関数 y=f(x)のグラ
( フと直線 y=a との共有点の個数と一致する。
解
与えられた方程式は,
-() 定数aを分離して,
x-3x?=a
f(x)=a の形にする。
2 数
と変形できるから,異なる実数解の個数は, y=x°-3x° のグラ
x+1 について、次の
フと直線 y=a との共有点の個数に等しい。
ここで,f(x)=x-3x? とおくと,
f'(x)=3x°-6x
=3x(x-2)
x
0
2
f"(x)=0 とすると, x=0, 2
f(x)
0
f(x)の増滅表は右のようにな
f(x)
極大
0
極小
-4
る。
したがって, y=f(x) のグラフ
は,右の図のようになる。
|y=x-3x
よって,与えられた方程式
a>0
x°-3x2-a=0
の異なる実数解の個数は,
0
2
13
a=0
x
-4<a<0
-4<a<0 のとき,
a=-4
3個
4
a=-4, 0 のとき,
2個
aく-4
a<-4, 0<a のとき,
1個