[2]の両辺の差を求めるところから分からないので教えていただきたいです🙇‍♀️🙏 もし他にやりやすいやり方があればお願いします！

基本例題 47 数学的帰納法と不等式の証明 5 を満たす自然数nに対して, 2">n² が成り立つことを数学的帰納法に よって証明せよ。 ③ p.420 基本事項 1 基本45 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (一般) [1] 出発点はn=1 に限らず [2] n=kの仮定から n=k+1 の証明 この例題では, n ≧5 であるから, まず [1] n=1のときの代わりに [1] n=5のとき を出発点とする。 また, 不等式 AB を証明するのであるから, A-B>0 を示せばよい。

マーカーを引いた所の式の意味が分かりません。 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

1. けて考え 変形 義域の甘 定義域の る。 から 域内に 最小と 三域の左 義域の 。 こまと 基本例題 66 最大・最小の文章題 (1) 小屋・ BC=18, CA=6である直角三角形ABC の斜辺AB上に点Dをとり,Dか ら辺BC, CA にそれぞれ垂線DE, DF を下ろす。 △ADF と△DBE の面積 の合計が最小となるときの線分 DE の長さと, そのときの面積を求めよ。O 基本60 CHART & SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE = x とすると、 相似な図形の性質から ADF, △DBEはxの式で表される。 また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし, △ADF と△DBE の 面積の合計をSとする。 0<DE=FC <AC であるから ・① 0-1 0<x<6 ...... (6—x)² 62 と AF=6-x △ABC △ADF であり, △ABC:△ADF=62:(6-x) 2 △ABC=1/12･18･654 であるから B ADBE=54= 3x² 2 したがって,面積は JOE ASI 次関数は81+(c •54=2(6x)²31 5 8= △ADF= 同様に,△ABC∽△DBE であり、△ABC:△DBE=62:x2 祉 2 よって S=△ADF + △DBE {(6-x)²+x²} E (8 AS 54 27 (辺の長さ)>0 xのとりうる値の範囲。 3 6 x 相似比がm:n→ 面積比は²: n² ←三角形の面積は 1 2 (底辺)×(高さ) 別解 長方形 DECF の面積 をTとするとTが最大に なるときSは最小となる。 DF=3(6-x) から T=x・3(6-x) 117 =3(x2-6x+18) 0 =3(x-3)2+27 ① において, S は x=3で最小値 27 をとる。 をとる。 よって,線分 DE の長さが3のとき面積は最小値 27 をとる。A =-3(x-3)2 +27 0<x<6から, x=3でT は最大値 27 をとる。 よって,線分 DE の長さが 3のとき、 Sは 最小値 ･・6・18-27=27 3

この問題、なんで最小値が1となるための条件として考えているんですか？ 私はc＋9=3でやろうとしたんですけどこれでは間違いなんでしょうか？ 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

関数 y=-x2+6x+c (1≦x≦4) の最小値が1となるように,定数cの値を ③ 基本60 定めよ。 また、そのときの最大値を求めよ。 基本例題 61 最大・最小から係数の決定 (1) いかん CHART & SOLUTION 最大・最小から係数決定 グラフ利用頂点と端点に注目 まず,基本形に変形してグラフをかき、軸が定義域のどの位置にあるかを確認する。 1≦x≦4 における最小値を求め, (最小値)=1 とおいたc の方程式を解く。 解答 y=-x2+6x+c を変形すると y=-(x-3)2+c+9 右の図から, 1≦x≦4の範囲におい てこの関数は x=3 で最大値 c+9 x=1で最小値 c+5 Ay INFORMATION c+9 c+8 +5 最小 /1 O 1 をとる。 最小値が1となるための条件は よって c=-4 また, x=3 で最大値 c+9=4+9=5 をとる。 最大 1 1 3 I 1 4x 頂点は点 (3,c+9), 軸 (x=3) は定義域内の 右寄り｡ 頂点 ←左端x=v (1) 1-1 c+5=1______ (S2x21-) S (MI)=1 \ TJIEFFOD -4 を代入。 美

n－3.n－9が正の数なら小さい方が1、負の数なら大きい方が-1になる理由は記述した方がいいんですか？ また、Nが素数になることは確認した方がいいんですか？ また、記述の問題の際に気を付けておいた方がいいことがあれば教えて頂きたいです。

188 重要 例題 113 素数の性質の利用 (1) n²-12n+27 の値が素数となるような自然数n をすべて求めよ。 a,bをa<bを満たす自然数とするとき, a+b=p, ab=gを満たす p.174 基本事項 3 (2) 素数p, g を求めよ。 CHART & SOLUTION 積が素数となる条件 ① 素数』の正の約数は1とかのみ (1)a,bを整数, pを素数とするとき 0<a<b,ab = p ならば α=1,b=p (小さい方が1) a<b<0, ab=pならばa=-p, b=-1 (大きい方が-1) ²-12n+27=(n-3)(n-9) が素数のときは, n-3とn-9 がともに正の場合と,とも に負の場合がある。 解答 (1) N=n²-12n +27 とすると (2)積が素数 (ab=g) の条件と α<bから, aとbが決まる。 また, 偶数の素数は2だけ であることを利用する。 p, g の偶奇に注目。 N=(n-3)(n-9) [1] n-3>n-9> 0 すなわちn>9のとき Nが素数となるとき n-9=1 よって n=10 このとき, n-3=7から N=7 となり、適する。 [2] n-9<n-3 <0 すなわち 1≦n <3 のとき Nが素数となるとき n-3=-1 n=2 よって このとき, n-9=-7 から N=7 となり、適する。 [1], [2] から 求めるnの値は n=2, 10 (2) ab=q と α < b から a=1,b=g a+b=p に代入して p=g+1 K & gでありとの偶奇は異なるから p=2+1=3 ①0000 ② 偶数の素数は2だけ よって p=3 は素数であるから,条件を満たす。 したがって 求める素数, q は g=2 p=3,g=2 n-9<n-3, <p,-P<- より まずN を因数分解。 ◆n-3, n-9 がともに 正の数なら小さい方が 1, ともに負の数なら大き い方が-1 7 は素数。 nは自然数だから n≧1 ◆1≦n <3を満たす。 7 は素数 素数αの正の約数は 1 とgのみ p-g=1(奇数) である からか、gの一方は奇 数で,もう一方は偶数。 19が奇数だと仮定する。 このときp=g+1なので Pは偶数、Pは素数なので P=20 2=2+1 + 19 = ¹, これは、県が事故であることに P RACTICE 113 (1) nは自然数とする。 次の値が素数となるようなnをすべて求めよ。矛盾する (ア) n²-2n-24 (1) n²-16n+28 よっては偶数、 (2)a,bを自然数とするとき, a+b=p+4,ab²=q を満たす素数p, g を求めよ。 ズーム 素数の定 もたない ントです。 ①素 素 であ 「素数 この性 ここで, 小関係 のみと のよう 「素数」 まず, 素数で これから p, gを また, のとき 素数は 素数の恒 (2) その後の ② を利用 以上のよう 威力 ざまな性質 ので参考に

この問題を私は別解のやり方を使って解いたのですが、これから先色んな問題をといていく中でこっちの方が簡単などありますか？？ 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

基本例題 55 グラフの対称移動 放物線 y=2x²-4x+3 を,次の直線または点に関して,それぞれ対称移動し て得られる放物線の方程式を求めよ。 (1) x 軸 (2) y 軸 (3) 原点 CHART & SOLUTION y=f(x)のグラフの対称移動 x軸に関する対称移動 を - におき換えて 軸に関する対称移動 原点に関する対称移動 -y=f(x) すなわち y=f(x) x を -x におき換えて y=f(-x) [xをx lv -v -y=f(-x) すなわち y=f(-x) におき換えて 解答 (1) -y=2x²-4x+3 すなわち y=-2x2+4x-3 (2) y=2(-x)-4(-x)+3 すなわち y=2x2+4x+3 (3) -y=2(-x)-4(-x)+3 すなわち y=-2x²-4x-3 別解 放物線 y=2x²-4x+3 す なわちy=2(x-1)2 +1は頂点 が点 (1,1)で下に凸である。 la s (1) x軸に関して対称移動すると,頂点は点 (1,-1) で上 に凸の放物線となるから u O 黄yを-yに。 Ty=2x²-4x+3 [1+x8 y=-2(x-1)2-1(y=-2x2+4x-3 でもよい) (2) y軸に関して対称移動すると,頂点は点(-1,1)で下 に凸の放物線となるから y=2(x+1)+1 (y=2x2+4x+3 でもよい) (3) 原点に関して対称移動すると, 頂点は点(-1,-1)で 上に凸の放物線となるから p.91 基本事項 5| y=-2(x+1)^-1 (y=-2x²-4x-3 でもよい) に。 x-xに, を-yに inf. 2次関数 y=ax²+bx+c のグラフ は,頂点の位置とx2の係 数で決まる。 よって,別解 のように頂点を対称移動さ てもよい。 せαの正負を考えて求め XOKOCH

この問題を私は別解のやり方を使って解いたのですが、これから先色んな問題をといていく中でこっちの方が簡単などありますか？？ 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

基本例題 55 グラフの対称移動 放物線 y=2x²-4x+3 を,次の直線または点に関して,それぞれ対称移動し て得られる放物線の方程式を求めよ。 (1) x 軸 (2) y 軸 (3) 原点 CHART & SOLUTION y=f(x)のグラフの対称移動 x軸に関する対称移動 を - におき換えて 軸に関する対称移動 原点に関する対称移動 -y=f(x) すなわち y=f(x) x を -x におき換えて y=f(-x) [xをx lv -v -y=f(-x) すなわち y=f(-x) におき換えて 解答 (1) -y=2x²-4x+3 すなわち y=-2x2+4x-3 (2) y=2(-x)-4(-x)+3 すなわち y=2x2+4x+3 (3) -y=2(-x)-4(-x)+3 すなわち y=-2x²-4x-3 別解 放物線 y=2x²-4x+3 す なわちy=2(x-1)2 +1は頂点 が点 (1,1)で下に凸である。 la s (1) x軸に関して対称移動すると,頂点は点 (1,-1) で上 に凸の放物線となるから u O 黄yを-yに。 Ty=2x²-4x+3 [1+x8 y=-2(x-1)2-1(y=-2x2+4x-3 でもよい) (2) y軸に関して対称移動すると,頂点は点(-1,1)で下 に凸の放物線となるから y=2(x+1)+1 (y=2x2+4x+3 でもよい) (3) 原点に関して対称移動すると, 頂点は点(-1,-1)で 上に凸の放物線となるから p.91 基本事項 5| y=-2(x+1)^-1 (y=-2x²-4x-3 でもよい) に。 x-xに, を-yに inf. 2次関数 y=ax²+bx+c のグラフ は,頂点の位置とx2の係 数で決まる。 よって,別解 のように頂点を対称移動さ てもよい。 せαの正負を考えて求め XOKOCH

(1)(2)(3)の個数はどうやって求めるんですか？ 解説よろしくお願いします!!

102 00000 図形と期待値 重要 例題 63 ら無作為に選んだ異なる2つの頂点と,頂点0で三角形 T を作るとき, T 1辺の長さが1の正六角形OABCDE がある。 5つの頂点A, B, C, D, E か 周の長さの期待値を求めよ。 CHART & SOLUTION 三角形のパターンを考える 三角形の頂点Oが固定されているから, Tと正六角形が,辺を何本共有するかで分類する。 パターンに分けた三角形のそれぞれの周の長さと, 個数を考える。 0が固定されているから、残りの2つの頂点は5つの頂点A,三角形のパターンは,次の B, C, D, E から2つの頂点を選べば,1つ三角形ができる。 3通り よって, 三角形の総数は A=2 √ 5C2=10 (個) [[1] ② 1 [1] Tが正六角形と2辺を共有するとき T は頂角が120° の二等辺三角形で, 全部で3個できる。 このとき, 周の長さは [2] Tが正六角形と1辺を共有するとき Tは斜辺の長さが2, 直角を挟む1辺の長さが1の直角三 角形で,全部で6個できる。 1+1+√3=2+√3 このとき, 周の長さは [3] Tが正六角形と辺を共有しないとき Tは1辺の長さが3の正三角形で, 1個できる。 このとき, 周の長さは 3√3 1+2+√3=3+√3 周の長さ 2+√3 3+√3 3√3計 3 1 確率 1 10 10 (2+√3) X- 6 10 したがって, 三角形の周の長さの期待値は 3 6 10 +(3+√3) x 1 +3√3× 10 10 12+6√3 530 [2] A B 11,1 A B A 30° 2 B 060° [3] 30° 0 七 0 060 0 基本 58 1300 30° √3 32 E D E D E D P RACTICE 63 4 表に 1, 裏に2と書いてあるコインを2回投げて、 1回目に出た数をxとし､2回目に 出た数をyとして, 座標平面上の点 (x,y) を決める。 ここで､ 表と裏の出る確率はと もに とする。この試行を独立に2回繰り返して決まる2点と点(0, 0) とで定まる 図形 (三角形または線分) について (1) 図形が線分になる確率を求めよ。 (2) 図形の面積の期待値を求めよ。 ただし,線分の面積は0 とする。 [ 東京学芸大]

なぜこの式が成り立つのか教えてください🙇🏻‍♀️

CHART & SOLUTION 2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用 (2次式) = 0, すなわち2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解αβを解の公式によって求 め、次の関係を利用する。 ax²+bx+c=(x-c)(x-B) L このαを忘れないように!

黄色の線を引いている所で、なぜ15がでてくるのか教えてください🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

本例題 46 2次式の因数分解 (1) 次の2次式を,複素数の範囲で因数分解せよ。 (1) 15x2 +14x-8 れめ (2) x22x2 解答 (1) 2次方程式 15x2+14c-8=0 を解くと -7±√7²2-15・(-8) -7±13 == 15 ー 15 すなわち よって CHART & SOLUTION 2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用 (2次式) = 0, すなわち2次方程式 ax2+bx+c=0の2つの解α, βを解の公式によって求 め、次の関係を利用する。 ax²+bx+c=(x—a)(x-B) x= 2 =-/-/-, 5 x= (21 2+IND 43 このαを忘れないように! ACTOR 15x²+14x-8=15(x-2/2){x-(-1/4)} 00000 MOASE (3) x² +2x+3 3 p.75 基本事項 2 08 たすき掛けの方法でも 因数分解できるが, ここ では, 解の公式を利用。 括弧の前の15を忘れな いように! = (5x-2)(3x+4) 05/x-2).2/x + 4)

なんでここには❌ないんですか？教えてください🙇‍♀️

樹形図の利用 本] 例題 毎回異なり、引き分けはなく、 3勝したらそれ以降の試合はない。 最初に1 ある競技は, 6試合のうち3勝すれば勝ち抜きとなる。 ただし、対戦相手は 勝したとき、この競技を勝ち抜くための勝敗の順は何通りあるか。 CHART & SOLUTION 場合の数 書式配列法か樹形図を利用 もれなく 重複なく 勝ちを○、負けを×で表し、 6試合目までに○が3回出てくる場合の樹形図をかく。 そのとき、一定の方針で、順序正しくかく｡ RAVTE S 勝ちを○、負けを×で表し、最初に1勝したときに6試合目 までに3勝する場合の樹形図をかくと,次のようになる。 1 2 4 (i) ○ (ii) よって X 10通り 3 O (iv) O (v) × Ox O X (vi) 15 O XO XO 6 -X O ⑨ p.261 基本事項 21 ○○ 269 ◆分岐する場合、 ○を上に かき,xを下にかく。 (i) 1試合目は○ ( 2試合目は○、×に 分岐｡ ( 2試合目が○のと き,○,×に分岐。 (iv) ○-○-○のとき, 勝ち抜け。 (v) ○-○-xのとき ○ ×に分岐。 これを6試合目まで繰 り返す。 ただし、途中で 明らかに3勝できなく なった枝は考えなくて よい。 例えば, (vi) で次 に×となると, 6試合目 に○でも3勝できない から, (vi) から × となる 枝はかかない。 1 集合の要素の個数 場合の数