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00
重要 例題 102 2次方程式の共通解
2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数の値を定め、その共通解を求めよ。
基本 97
171
"DX=RB
323
-z
指針 2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができ
たら,その解を他方に代入することによって、定数の値を求めることができる。しか②xxc-
しこの例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法
が一般的である。
119. 1
式を解く。
D>0
D=00
えるのは
一般に2つの解をもつから、“同じだということを示す
2つの方程式の共通解を x=αとおいて、それぞれの方程式に代入すると
①, a2+α+k=0 ② sak
2a2+ka+4=0
これをαkについての連立方程式とみて解く。
②から導かれる k=--α を 1 に代入(kを消去してもよいが, 3次方程式と
なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるの項を消去す
ることを考える。 なお, 共通の 「実数解」 という問題の条件に注意。
+x+k 1
3章
1 2次方程式
CHART
方程式の共通解 共通解を x=α とおく
2x
ただ交点
共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
式を解く
2a2+ka+4=0
①, a2+α+k=0
解答
①-② ×2 から
(k-2)a+4-2k=0
α2 の項を消去。 この考
↓
ゆえに
(k-2)(a-2)=0
よって
k=2 または α=2
を加減法で解くことに似
ている。
実数解
ずに
[1] k=2のとき
ら
2つの方程式はともに x2+x+2=0 となり, この方程式 数学Ⅰの範囲では,
の判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D<0 であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに2つの方程式は共通の実数解をもたない。
x²+x+2=0の解を求め
[2] α=2のとき
②から 22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は2x26x+4=0, x2+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 とな
り,解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3
ることはできない。
x1=2
=2を①に代入しても ↑
よい。
ただまが同じ
ってだけ
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2
をもつ
以上から k=-6, 共通解はx=2
注意 上の解答では, 共通解 x=α をもつと仮定してαやんの値を求めているから
求めた値に対して,実際に共通解をもつか,または問題の条件を満たすかど
うかを確認しなければならない。
練習 2つの2次方程式 x2+6x +12k-24=0, x2+(k+3)x+12=0がただ1つの実数を
102 共通解としてもつとき,実数の定数kの値は ]であり,そのときの共通解は
である
