11 絶対値つき関数/折れ線(具体的)
P(ア) 関数f(ェ)3|2+1|+|z-1|+|z-2|は, z= 口
ベイ)関数f(z)=||2-1|-1|について, 方程式f(x)=kがちょうど3個の実数解をもつような
実数kの値を求めよ。
で最小値をとる. (類 明治学院大·文)
(法政大·文,経営)
絶対値と数直線
(ア)のタイプのグラフ
ラフがつながっている)である. 絶対値をはずせばェの1次以下の関数であるから, y=f(z)のグラ
フは1本の折れ線である. まずは, 地道に絶対値をはずしてグラフを描いてみよう(解答). なお, 絶対
値記号の中身が0となるエの値が折れまがる点のェ座標である. したがって, (ア)の最小値は, z==-1
か1か2のいずれかでとる. 増減は傾きから分かる (別解).
y=If(x)|のグラフ ) y3lf(x)|のグラフは, y=f(x)のグラフのy<0の部分を 軸に関し
て折り返したもの (y20の部分はそのまま)になる. 絶対値記号に対して, ただただ「中身の正負で場
合分け」する方針一辺倒ではなく, 図形的にとらえられるときはそれを活用しよう.
la-b|は数直線上で, 2点a, b間の距離を意味する。
f(z)は点zと点 -1, 1, 2 との距離の和であるから, zの連続な関数(グ
■解答
(ア)エミ-1 のとき,f(x)=-(z+1)-(ェ-1)-(r-2)=-3.z+2
-1SェS1 のとき,f(r)3 (ェ+1)-(r-1)-(z-2)=-r+4
1SェA2 のとき, f(z)3(r+1)+(z-1)- (e-2)=r+2
2<z のとき, f(x)=(z+1)+(ェー1)+(ェー2)=3z-2
で最小値をとる。
4
3
ように
