Question

Clearnoteユーザー

この問題を解く手順を教えてください。

補足：チャートの(画像より)参考にするべき問題は分かったのですが、-a、aの増減表の意味が分かりません😭

13.2
の3次方程式- 3 +k=0が異なる3つの実数解 a, B, y (α<B<y)をもつとき, 次の
問いに答えよ。
(1)定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 解aのとり得る値の範囲を求めよ。

3次方程式x'ー3a"x+4a=0が異なる3個の実数解をもつとき, 定数aの値の範
方程式のx の係数が文字の場合
311
基本例題 213
基本 212)(演習 217、
囲を求めよ。
(昭和楽大)
指針 方程式S(x)=0 の実数解な
リ=f(x) のグラフとx軸の共有点のx座標
極大
y=f(x)
に注目。
3次方程式f()=0 が異なる3個の実数解をもっ
e=(x) のグラフがx軸と共有点を3個もつ
→(極大値)>0かつ(極小値)<0
→(極大値)×(極小値)<0
6章
37
極小
右の図参照。なお, 3次関数が極値をもつときは、
極大値と極小値を1つずつもち (極大値)>(極小値)
解答
f(x)=x°-3a*x+4a とする。
3次方程式/(x)=0が異なる3個の実数解をもつから,3次関
数 f(x) は極値をもち,極大値と極小値の積が負になる。
-こで、f(x) が極値をもつことから, 2次方程式 f (x)=0 は
の実味
異なる2つの実数解をもつ。
F(x)=3x°-3a°=3(x+a)(x-a)
一個熱に
『(x)=0 とすると
ラ7,
このとき,f(x) の増減表は次のようになる。
aキ0 a=0のとき,f(x)=x° と
1 なり極値をもたない。
x=±a
よって
a<0の場合
a>0の場合
mi
Aaの正負に関係なく。
x=a, -aの一方で極大,
他方で極小となる。
a
a
ーa
x
0
0
0
f(x) +
0
f(x)|/極大 極小 /
f(x)|/極大 極小
よって,極大値と極小値の積は
-)(a)= {(-a)-3d°.(-a)+4a}(α°-3a°-a+4a)
w
=(2a°+4a)(-2a+ 4a)
fO)
=-4a°(a°+2)(a?-2)
『(-a)(a)<0から
(a?+2)>0 であるから
aat2)(-2)>0
a-2>0
Aaキ0 であるからα>0
よって
ゆえに
a<-2, /2<a
これはaキ0 を満たす。
SK型-最小値、方程式· 不等式
000

微分 3次方程式 実数解の個数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たこ焼き

(1)しかわかりませんが、とりあえず、チャートの説明します。
まず、3次方程式が異なる3つの解を持つ、ということは、3次方程式は極値を持ち、その極値の積は負になることはわかりますか？
で、今回は、とりあえず、3次方程式は極値を持てばよいから、極値(極大値、極小値)を求める。
極値を求めるには、微分して増減表を書きますよね
　ということで、f(x)=x³－3a²x+4aをxで微分して、f'(x)=3x²－3a²
　f'(x)=0を解いて、x=±a
また、3次方程式が極値を持つってことは、2次方程式f'(x)=0は異なる2つの実数解を持つから、a≠0
　　※2次方程式f'(x)=0が異なる2つの実数解を持つから、次に、増減表を書いたときに、3次方程式が極値を持つってこと
　　　になりますよね。
　　　仮に、a=0だと、f'(x)=0を解くと、x=0になりますよね。すなわち、2次方程式f'(x)=0は重解(1つの実数解)を持つこ
　　　とになります。
後は、極値を求めるために、いつも通り、f(x)の増減表を書く。
でも、今回は、f'(x)=0を解いたときに、x=±aかつa≠0であった。
増減表のxの欄は、・・・－a・・・a・・・、と書きますか？それとも、・・・a・・・－a・・・、と書きますか？
　　※例えば、f'(x)=0を解いたときに、x=±5であった場合は、、・・・－5・・・5・・・、と書きますよね？
仮に、a<0だった場合は、a＜－aになるから、・・・a・・・－a・・・、と書きますよね。　
　　　a>0だった場合は、－a＜aになるから、・・・－a・・・a・・・、書きますよね。
ということで、増減表を書くときは、a<0だった場合、とa>0だった場合で、場合分けて書いてます。
　f'(x)の欄、f(x)の欄は今までと同じやり方で書いていきます

後は、3次方程式が異なる3つの解を持つためのもう一つの条件、極値の積は負になること、を用います。
分からなければ質問してください