500
重要 例題 77 球面のベクトル方程式
空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点Qを考える
更に, 原点を0,線分 OQ の中点をPとし, 点A, Q, P の位置ベクトルをそれ
このとき, 点Pが満たすべクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x, y, z) が描く
ぞれ,i, とする。
[類 立命館大] 基本 39, p.494 基本事項
図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。
指針 球面のベクトル方程式
[1] \p-c=r
中心C (C), 半径r
[2] (-a) (-6)=0
[1]
p
C
解答
点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから,
g-al=3 を満たす。
(s
また,線分 Q の中点がPであるから,
5/12/10 すなわち
g=2p である。
よって
2点A(a), B(L) が直径の両端
これは,平面で円を表すベクトル方程式と
同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で, いずれかの形を導く。
12p-al=3
3
図ゆえに,点Pが満たすベクトル方程式は1万100=12/0
(S & D)
よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径 12/3の球面上にある。
x² + (y−3)²+z² = ²/
9
よって
s=2x,t=2y, u=2z
これらを①に代入して (2x)+(2y-6)^+(2z)²=32
ゆえに
C
ゆえに,点Pが描く図形の方程式は x2+(y-3)+2=-
$=s (8-))
9
4
[2]
P
b
Cass=32
11
+)
51KG
[参考] [点Pが描く図形の方程式を、数学IIの軌跡の考え方で求める(数学ⅡI 例題 108 参照)]
点Qの座標を (s,t, u) とする。
kab-
■ s, t, u はつなぎの文字。
①
点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s'+(t-6)^+u²=32
線分OQの中点 S t u
1/2/12 ) が点Pと一致するから
2' 2
S
u
12/2 = x 1/2=1/1/21=2
=y,
① 平
基
つなぎの文字 s, t,uを消
去する。
[
