CHNOT
数たとの大小
★☆☆い
例題
198
2次方程式の解の存在範囲 (2) …
a
2次
例題 121
つの
範囲を定めよ。
(1) ともに1より大きい異なる2つの解をもつ。
(2) 1より大きい解と1より小さい解をもつ。
や例題120
写針
指 前の例題では解の正負, すなわち解と 0との大小の問題だったが,ここでは0以外の
の大小に関して考えることになる。しかし, グラフ利用 の方針は同じ。
(1) 判別式 D, f(1) の符号, 軸と1との大小に注目。
(2) f(1) の符号を考える。
開答
y,
解答 (x)=x°ー4ax+3a とする。
(1) 方程式f(x)=0 がともに1より大きい異なる2つ
の解をもつための条件は, 放物線 y=f(x) がx軸の
x>1の部分と,異なる2点で交わることである。
ゆえに,f(x)=0の判別式をDとすると, 次のことが
同時に成り立つ。
2a
0
1
00107の く
[3] 軸>1
[1] -=(-2a)?--1·3a=4α°-3a
D>0 から
4a-3a>0
よって
a(4a-3)>0
3
a<0, そくa
[2] f(1)>0 から
ゆえに
1O
1-a>0
?よって
a<1
。[3] 軸は直線 x=2aであるから
2②
2a>1
ゆえに
a.
3
0. 2, 3の共通範囲を求めて
(2) 方程式 f(x) =0が1より大きい解と1より小さい解
をもつための条件は
0-
くa<1
1
3
2 4
1a
ゆえに
1-a<0
注意(2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,グラフがx軸より下
側の点を通るとき,必ずx軸と異なる2点で交わる。よって,
D>0の条件は必要ない。
また、f(x)=0 の2つの解を a, B(α<B) とすると,f(1)<0であるとき,軸の位置に関
係なくα<1<Bであるから,軸の条件も考えなくてよい。
練習|121 2次方程式 2x°+ax+a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数aの
よって
a>1
X
値の範囲を定めよ。
(1)ともに1より小さい異なる2つの解を
(2) 3より大きい解と3th
