主人 理 9キーーーーブフッドのヨ除法と 1 次不定方程式
() 不定方程式 161z二19yニ1 を満たす加数xyの組の中で, との絶対値が最
小のものはァニ アイ ター の95 である。
(9) 不定方程式 161z填19y5 を満たす整数*, yの組の中で, の絶対値が最
小のものはァ*デしオッデー カキク | である。
1 次不定方程式の整数解の 1 組が容易に見つからない場合は.
ユークリッドの互除法を用いる。 ゅ回@参考)
(2?) (1!) の等式の両辺を 5 倍すると 161(5x)+19(5y)=5
よって, Q①) で見つけた整数解の 1 組をそれぞれ5 倍したものは
161x十19y5 の整数解の 1 組である。
9 1) 161z十19ッ1 …… ③④ とする。
161三19・8十9 移項すると 9三161一19・8 |をでァの係数 161とッの係数
19三9・2十1 移項すると 1テ19一9・2 19 にユークリッドの互除
この計算を逆にたどると 法の計算を行う。
1=19一9・2 を余りが了えになったところ
ー19一(161一19・8)・2 re 計算を送にたどる。
161・(一2)十19・17 3
しだお記め6 161・(一2)土19・17=モ1 …… ⑧ を① を満たす 1 組の解
①ー⑨⑧ から 161(*填2)十19(ッー17)=0 …… ③ ァニー2, ッー17 が得られる。
161 と 19 は互いに素であるから, ③より
ァ填2三19を。ッー17ニー161 (んは整数)
よっで ァー19を一2,。 ッニー161z十17
|z| が最小となるのはん0 のときであるから
ーーデーブーアニ寺7
(2) 161z填19ッー5 …… ④ とする。
から 161・(一2・5)十19・(17・5)=5 …… (の で②x5 とすると. ④ を満た
④-⑧⑤から 161(>十10)+19(ッー85)=0 …… ⑥ す 1 宜の解メーー10
161 と 19 は互いに素であるから, ⑥ より ッー85 が得られる。
ァ十10三19/, ッー85ニー161/ (7 は整数)
よっW *三197一10, ッテー1617十85
| が最小とな = S から -
ァーオ9, ッーカキクー76
