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基本 例題 81/2直線の交点を通る直線
00000
2直線x+y=4=0
①, 2x-y+1=0
たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。
(1)点(-1,2)を通る
･･････ ② の交点を通り, 次の条件を満
A
基本80
|指針
(2) 直線x+2y+2=0に平行
2直線 ①②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③を考える。
k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数)
(1) 直線③が点 (1,2)を通るとして, kの値を決定する。
(2)平行条件 aiba,b=0 を利用するために,③を x, yについて整理する。
133
CHART
2直線f=0,g=0 の交点を通る直線 kf+g=0 を利用
んは定数とする。 方程式
②
解答(x+y-4)+2x-y+1=0 ...... ③
別解として, 2直線の交
点の座標を求める方法
3章 138 直線の方程式、2直線の関係
は, 2直線 ①②の交点を通る直線
を表す。
(-1,2)
0-8
ら
(1) 直線 ③が点 (-1, 2) を通るか
-3k-3=0
4
10
(e-
すなわち k=-1
これを③に代入して
-(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち
x-2y+5=0
(2)③
x,yについて整理して
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0,464
直線 ③ が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は
よって k=-5
(k+2).2-(k-1)・1=0
これを③に代入して
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち x+2y-7=0
もあるが、 左の解法は今
後、重要な手法となる
(p.168 例題 106 参照)。
検討
与えられた2直線は平
行でないことがすぐに
わかるから 確かに交
わる。 しかし, 交わる
かどうかが不明である
2 直線 f = 0, g=0 の
場合, kf+g=0 の形
から求めるには,2直
線が交わる条件も必ず
求めておかなければな
らない。
参考
③ の表す図形が, [1] 2直線 ①,②の交点を通る [2] 直線である
ことを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点(x, y) は, xo+yo-4 = 0,
2xo-yo+1=0を同時に満たすから,kの値に関係なく, k (xo+yo-4)+2xo-yo+1=0が成り
立ち, ③は2直線 ①②の交点を通る。
[2] ③ を x, yについて整理すると
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
k+2=0, k-1=0 を同時に満たすkの値は存在しないから, ③は直線である。
なお、③は,kの値を変えることで, 2直線 ① ② の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ
けは表さない。
練習 2直線x+5y-7=0, 2x-y-4=0の交点を通り, 次の条件を満たす直線の方程式
③ 81 を それぞれ求めよ。
(1)点(-3,5)を通る (2) 直線x+4y-6=0に (ア) 平行 (イ) 垂直
