例題 238 方程式の実数解のとり得る値の範囲
3次方程式 x6x2+9x+k-5 = 0 ･･･ ① が異なる3つの実数解 α, Br
,β, yのとり得る値の範囲を求めよ。
Rio Action 方程式 f(x) =kの実数解は,y=f(x) のグラフと直線 y=kの共有点を調べよ
求めるものの言い換え
α, B, y のとり得る値の範囲
y=f(x)
例題217
例題
23
3次方
思考プロセス
[曲線y=f(x)
の共有点のx座標のうち,
直線y=k
最小のものα,2番目に大きいものβ,最大のものy
のとり得る値の範囲
a
B
思考プロセス
例題
図て
曲線
Ac
f(x
f'
(ア)
①.
+
(イ)
解 方程式 ① は
|-x3+6x2-9x+5=k
f(x)=-x+6x2 -9x+5 とおくと, 方程式 ① の異なる
3つの実数解 α,β, y は, 曲線 y=f(x) と直線 y=k
の共有点のx座標である。
ここで
f'(x) = -3x2 +12x-9=-3(x-1)(x-3)
f'(x) = 0 とすると x=1,3
よって, f(x) の増減表は次のよう
になる。
y=5
x
***
1
...
f'(x)
-
0
:+
3
y=f(x)
0
y=k
方程式 ① が異なる3つの
f(x) \
1 7
5
実数解をもつとき
y=1
1 <k< 5
ゆえに,y=f(x) のグラフは右の
図のようになる。
Oa 1 B 3 Y
x
4
k=1のとき, 方程式 ① の実数解は
p.407 Go Ahead 16 の内
x-6x2 +9x-40
(x-1)(x-4) = 0
よって x=1,4
k=5のとき, 方程式 ① の実数解は
x-6x2+9x=0
x(x-3)20
よって x=0,3
したがって,実数解α, β, yのとり得る値の範囲は
0<a< 1, 1 < β < 3,
3 <y <4
2383
容を用いて x=4 を導い
てもよい。
Po.
((x
0 1 2 3 4
1に
近づくほどは
は1には4
近づき,k5に近づくほ
どは0には3
3に近づく。 等号を含
まないことに注意する。
