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22 4 STEP数学I
裏 : z2-xs0 一「zキ0 かつ ァキ1」
*2ーxsr0 とすると xsm0O かつ *キ1
よって, 裏は真である。
111 (1) 対偶「*=1 一字 *?=
*ーニ1のとき =13=ニ1
よって, 対偶は真である。
したがって, もとの命題は真である。
(② 対偶「「x<2 かつ ヵミ1」 一テテ *+ッ3」#
証明する。
*ミ2 かつ ッミ1 のとき
ィ十了革2十1 すなわち
よって, 対偶は真である。
たがって, もとの命題は真である。
(⑬) 対偶
「z が3の倍数ならば, z? は 3 の倍数である
を証明する。
々が3の倍数のとき,
ター3ん と表される。
回のだ ーニ(3の"=9?ニ3・3ん2
3をだ は整数であるから, み? は 3 の倍数である。
ゆえに, 対偶は真である。
したがって, もとの命題は真である。
(④) 対偶「ヶが奇数ならば, z?二1 は偶数である」
を証明する。
タ が奇数のとき, ヶ はある整数をを用いて
ター2十1 と表される。
このとき
タ?二1三(2を十1)?二1ニ
三2(46?十6?十3二1)
4が十6を2十3を十1 は整数であるから, %?二上1 は
偶数である。
よって, 対偽は真である。
したがって, もとの命題は真である。
1」を証明する。
ィ十)ミ3
ヶ はある整数をを用いて
112 (1) 1+3 は無理数でないと仮定すると,
1+ 3 は有理数である。
その有理数をヶとすると, 1+3 =ニヶから
3 =ニァー1
したがって, 1+3 は無理数である。
1
(の 二 提数でないと仮定する。
1
理数である。
2 は有理数である
(8が?二12?二6を寺1)+1
この等式は 3 が無理数であるこ器
ロ けは無数でが
したがって, 649
p kg erが oe
るから, 2一ツ3 =ァ (ヶは有理数)
を示してもよい。
ほっで
理数である。 に 倍数でヵ
その有理数を/とすると マデニク の
両辺を 2 乗すると ァーバ 2 じた2
ヶが有理数のとき 7? は有理数であるが 5 な
等式は が無理数であることに秘 と
したがって, ツz は無理数である。 その有:
114 (1) 対但「ヶが5の倍数でないならほ
5 の倍数でない」を証明する。 おっ5e
ヶが5 の倍数でないとき, ヶはある整数が
5 54+1. 5&+2。 5+3。 5&+4 ァが有
のいずれかで表される。 り この震
[] ヵー5&1 のとき 8 本
巡ニ(58+ 2ニ2542ト10g1
=5(54?十21 16 g:
[2 ヵ=5&+2のとき
2?ニ(54+2)?王2562 上20を上4
ミ5(52+4め6+4 の当
[3] ヵ=5%+3 のとき この
がー(5を9*ニ254?二80を9 よっ
=5(5?+6A+1)+4 0
[4] ヵ=5&+4のとき
が“ー(54+4*
0=5
