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次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
(1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an
基本 例題123 隣接3項間の漸化式 (1)
p.571 基本事項1
重要133
(2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0
2解を α, Bとすると, αキBのとき
an+2-Can+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α(an+1-Ba,)
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
A
し,等比数列 {an+1+2an}, {an+1-3am} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は
an+2-an+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。
解答
5野
x=x+6を解くと,
(x+2)(x-3)=0 から
x=-2, 3
α=-2, B=3 として指針
のAを利用。
(1) 漸化式を変形すると
の,
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
Oより,数列 {an+1+2am} は初項 a2+2a=1, 公比3の等比
(2
数列であるから
an+1+2an=3*ー1
3 bD
2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a1=1, 公比 -2 の等
比数列であるから an+1-3an=(-2)"
3-の から
5a,=3"-1-(-2)"-1
an+1 を消去。
したがって
anミ
(2) 漸化式を変形すると
ゆえに,数列 {an+1-Qn} は初項 a2-a1=2-1=1, 公比 -5
の等比数列であるから
よって, n>2のとき
an+2-Qn+1=ー5(an+1-an)
(x°+4x-5=0を解くと
(x-1)(x+5)=0から
an+1-Qn=(-5)"-1
x=1, -5
n-1
an=a,+2(-5)*ー1_1+
k-
別解 漸化式を変形して
k=1
an+2+5an+1=an+1+
よって an+1+5an
=an+5an-1
n=1を代入すると,(7-(-5)"}=1であるから, 上の式
=……=a2+5a
はn=1のときも成り立つ。
an+1+5an=7 を変形し
4.=17-(-5)-)
7
an+1
6
an
したがって
から 4,=ロー(-
